Stetige Funktionen zeigen

Question

Es geht um die folgende Aufgabe.

Ich weiß leider nicht wie ist sie lösen kann, wäre sehr dankbar für Antworten!

Aufgabe:

Es seien f1, . . . , fm : R^n → R stetige Funktionen. Man zeige, dass dann auch f mit
f(x) := min fi(x), 1≤i≤m
stetig ist.

Answer 1

Es gibt einen ganz bekannten Satz aus der Analysis der besagt: f: X → Y (X und Y metrische Räume) und das Urbild offener Mengen unter f sind ebenfalls offen, genau dann ist f stetig.

Man nimmt nun eine beliebige offene Menge U und zeigt, dass das Urbild von U unter f offen ist.

O.E. nimmt man an, dass die offene Menge (in deinem Fall liegt diese ja in R) folgende form hat U= (-∞,b).

Es gilt nun f^-1(U) = ∪ f_i^-1 (U) (tatsächlich bin ich mir an der Stelle nicht ganz sicher aber ich meine das müsste gelten).

Da f_i^-1 (U) für alle i offen ist und die Vereinigung offener Mengen offen ist, ist f^-1(U) offen.

Jetzt würde ich argumentieren, dass man die offenen Mengen durch Mengen der Form (-∞,b) erzeugen kann und dann hat man die Aussage auch schon gezeigt.

LG