Trigonometrie: Wie viel Meter liegt der Gipfel des Matterhoms über dem Riffelsee?

Question

Aufgabe:

Blickt man von einem \( 120 \mathrm{m} \) über dem Riffelsee (bei Zermatt in der Schweiz) gelegenen Punkt A bei Windstille in den See, so sieht man das Spiegelbild des Matterhorns unter dem Tiefenwinkel \( \alpha=11,80^{\circ} . \) Die Spitze des Matterhorns \( \beta \) erblickt man direkt unter dem Höhenwinkel \( \beta=10,25^{\circ}(\text {siehe Figur}) \).

Wie viel Meter liegt der Gipfel des Matterhorns über dem Riffelsee?

Ansatz:

Bei mir kommt für die Innenwinkel des oberen Dreiecks immer mehr als 180 grad raus. M ist die Bergpitze (Matterhorn) und links oben der Standpunkt.

Answer 1

Blickt man von einem 120m über demRiffelsee (bei Zermatt in der Schweiz) ge-legenen Punkt A bei Windstille in den See,so sieht man das Spiegelbild des Matter-homs unter dem Tiefenwinkela = 11‚80°. Die Spitze des Matterhornserblickt man direkt unter dem Höhenwin-kel ß = 10‚25° (Fig. 4).Wie viel Meter liegt der Gipfel des Matter-homs über dem Riffelsee?

Sei x die Höhe des Berggipfels und y der horizontale Abstand dann gilt:

(x  - 120) / y = tan(10.25°)
y = (x  - 120) / tan(10.25°)

(x + 120) / y = tan(11.8°)
y = (x  + 120) / tan(11.8°)

Also

(x - 120) / tan(10.25°) = (x + 120) / tan(11.8°)

(x - 120) * tan(11.8°) = (x + 120) * tan(10.25°)

0.2089108842·x - 25.06930611 = 0.1808294574·x + 21.69953488

(0.2089108842 - 0.1808294574)·x = 21.69953488 + 25.06930611

x = (21.69953488 + 25.06930611) / (0.2089108842 - 0.1808294574)

x = 1665.472385

Comments

Ich habe die Skizze etwas anders gemacht.

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Auf der Zeichnung im Buch müssen die beiden unteren Winkel am Spiegelpunkt R so groß sein wie Alpha - Beta. Also 1,55 Grad. Nun ist es auch nicht schwer den Winkel mit den Schenkeln AR und MR auszurechnen. Also 180 Grad - 2*1,55 = 176,9 Grad.Nun hat man in dem Dreieck ARM schon 2 Winkel. Alpha und 176,9 Grad. Die beiden alleine sind nun aber schon größer als 180 Grad. Das passt also irgendwie nicht.

Kann es sein das Alpha falsch eingezeichnet ist?

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Eigentlich versteht man unter einem Tiefenwinkel

Ein Tiefenwinkel ist der Winkel eines Punktes unter dem Horizont.

Das scheint hier ja gar nicht der Fall zu sein. Ich denke also Alpha sollte gegen die Horizantale gemessen werden.

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Okay, dann rechne ich jetzt nochmal das Ergebnis aus. Dabei geht Alpha dann nur bis zur gestrichelten Linie. Ich melde mich dann nachher nochmal um mein Ergebnis zu kontrollieren.

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Du solltest dann eigentlich auch auf das Ergebnis kommen was ich oben geschrieben habe.

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Der Höhenunterschied zwischen Bergspitze und See liegt laut Wiki bei 1708 m. Keine Ahnung warum dann in der Aufgabe 1665 m heraus kommt. Aber die Größenordnung stimmt.

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So, jetzt habe ich 1665,45 raus. Dein Ergebnis ist sicherlich noch genauer, weil ich teilweise nicht mit den genauen Werten weitergerechnet habe. Vielen Dank für die schnelle Hilfe. Bin froh, dass die Aufgabe falsch war. Und nicht ich mit meiner 1 in Mathe zu blöd;)

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Ich denke der Zeichner hat einfach nur einen kleinen Fehler gemacht. Er ist halt Zeichner und kein Mathematiker.
Welches Buch ist denn das ISBN ?