Maximiere die Fläche eines Dreiecks ABC in einer Funktion

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = \( \frac{x}{x^{2}+1} \)

Der Punkt A sei die Nullstelle der Funktion und der Punkt B der Wendepunkt mit positiver x-Koordinate. Der Punkt C liege zwischen A und B auf dem Graphen von f(x). Bestimme C so, dass die Fläche des Dreiecks ABC maximal wird.

Problem/Ansatz:

Also die Nullstelle für Punkt A weiss ich schon, die ist bei A=(0,0). Punkt B, der Wendepunkt mit positiver x-Koordinate, habe ich auch schon bei (\( \sqrt{3} \) , \( \frac{\sqrt{3}}{4} \)) gefunden. Einfach die Maximierung bereitet mir Probleme. Eine graphische Darstellung des Dreiecks würde auch ziemlich helfen.

Comments

Eine graphische Darstellung des Dreiecks würde auch ziemlich helfen.

Nun denn ... den Punkt auf dem roten Graphen von \(f(x)\) kann man verschieben.

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Interaktiv sogar, genial!

Answer 1

Die Gerade durch A und B sowie die Tangente in C müssen parallel sein.

(Der Abstand zwischen AB und dieser Parallelen ist der größtmögliche Abstand, den C zur Dreiecksgrundseite AB haben kann.)

Bestimme also den Anstieg von AB und bestimme die Stelle des Graphen, deren erste Ableitung diesen Wert hat.

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Wie berechnet man den Anstieg eines Vektors AB?

Edit: Habs doch verstanden wie man die Steigung berechnet.

Answer 2

[spoiler]

Die Seite c des Dreiecks liegt auf der Geraden

\(g: \enskip y =  mx + q = \Large\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{3}} \normalsize \cdot x + 0= \frac{1}{4} x \)

Der Flächeninhalt muss maximal werden. Das ist dann der Fall, wenn die Höhe h_c maximal wird, d.h. der Abstand d von C zu g wird maximiert.

Der Abstand ist das Minimum von \(d =  \sqrt{(x_C-x)^2 + (\Large\frac{x_C}{x_C^2+1}\normalsize -\frac{1}{4}x)^2} \quad \) d.h. der Höhenfußpunkt H_c liegt bei \( \Large (\frac{16 x_C^{3}+20 x_C}{17 x_C^{2}+17}\normalsize ;  \Large\frac{1}{4}(\Large\frac{16 x_C^{3}+20 x_C}{17 x_C^{2}+17} ))\) auf der Geraden g.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dort maximal, wo

\(d =  \sqrt{\Large(\normalsize x_C- \Large\frac{16 x_C^{3}+20 x_C}{17 x_C^{2}+17})^{^2}\normalsize +\Large(\frac{x_C}{x_C^2+1}\normalsize -\frac{1}{4}\cdot\Large\frac{16 x_C^{3}+20 x_C}{17 x_C^{2}+17} )^{^2}} \quad \)

maximal ist. Das ist an der Stelle

[/spoiler]

x_C = \( \sqrt{\sqrt{12}-3} \approx 0,68125 \)

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und das Ganze noch graphisch:

Der Lösungsweg ist halt analysislastig, hat mit meinem Beruf zu tun.