Maximiere die Fläche eines Dreiecks ABC in einer Funktion

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = \( \frac{x}{x^{2}+1} \)

Der Punkt A sei die Nullstelle der Funktion und der Punkt B der Wendepunkt mit positiver x-Koordinate. Der Punkt C liege zwischen A und B auf dem Graphen von f(x). Bestimme C so, dass die Fläche des Dreiecks ABC maximal wird.

Problem/Ansatz:

Also die Nullstelle für Punkt A weiss ich schon, die ist bei A=(0,0). Punkt B, der Wendepunkt mit positiver x-Koordinate, habe ich auch schon bei (\( \sqrt{3} \) , \( \frac{\sqrt{3}}{4} \)) gefunden. Einfach die Maximierung bereitet mir Probleme. Eine graphische Darstellung des Dreiecks würde auch ziemlich helfen.

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Eine graphische Darstellung des Dreiecks würde auch ziemlich helfen.

Nun denn ... den Punkt auf dem roten Graphen von \(f(x)\) kann man verschieben.

https://www.desmos.com/calculator/wruol9j6o5

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Interaktiv sogar, genial!

Answer 1

Die Gerade durch A und B sowie die Tangente in C müssen parallel sein.

(Der Abstand zwischen AB und dieser Parallelen ist der größtmögliche Abstand, den C zur Dreiecksgrundseite AB haben kann.)

Bestimme also den Anstieg von AB und bestimme die Stelle des Graphen, deren erste Ableitung diesen Wert hat.

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Wie berechnet man den Anstieg eines Vektors AB?

Edit: Habs doch verstanden wie man die Steigung berechnet.

Answer 2

[spoiler]

Die Seite c des Dreiecks liegt auf der Geraden

\(g: \enskip y =  mx + q = \Large\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{3}} \normalsize \cdot x + 0= \frac{1}{4} x \)

Der Flächeninhalt muss maximal werden. Das ist dann der Fall, wenn die Höhe h_c maximal wird, d.h. der Abstand d von C zu g wird maximiert.

Der Abstand ist das Minimum von \(d =  \sqrt{(x_C-x)^2 + (\Large\frac{x_C}{x_C^2+1}\normalsize -\frac{1}{4}x)^2} \quad \) d.h. der Höhenfußpunkt H_c liegt bei \( \Large (\frac{16 x_C^{3}+20 x_C}{17 x_C^{2}+17}\normalsize ;  \Large\frac{1}{4}(\Large\frac{16 x_C^{3}+20 x_C}{17 x_C^{2}+17} ))\) auf der Geraden g.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dort maximal, wo

\(d =  \sqrt{\Large(\normalsize x_C- \Large\frac{16 x_C^{3}+20 x_C}{17 x_C^{2}+17})^{^2}\normalsize +\Large(\frac{x_C}{x_C^2+1}\normalsize -\frac{1}{4}\cdot\Large\frac{16 x_C^{3}+20 x_C}{17 x_C^{2}+17} )^{^2}} \quad \)

maximal ist. Das ist an der Stelle

[/spoiler]

x_C = \( \sqrt{\sqrt{12}-3} \approx 0,68125 \)

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und das Ganze noch graphisch:

Der Lösungsweg ist halt analysislastig, hat mit meinem Beruf zu tun.