Problem beim Wurzel auflösen

Question

Aufgabe:

3 - 4$\sqrt{3x}$ + 4x² = 0

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, ich verstehe leider nicht wie ich die $\sqrt{3x}$  auflösen/umschreiben soll.

Answer 1

Aloha :)

Wir halten zuerst fest, dass $x\ge0$ sein muss, damit $\sqrt{3x}$ definiert ist. Wir rechnen:$$\left.3-4\sqrt{3x}+4x^2=0\quad\right|+4\sqrt{3x}$$$$\left.3+4x^2=4\sqrt{3x}\quad\right|\text{quadrieren}$$$$\left.(3+4x^2)^2=16\cdot3x\quad\right|\text{1-te binomische Formel links, ausrechnen rechts}$$$$\left.9+24x^2+16x^4=48x\quad\right|-48x$$$$\left.16x^4+24x^2-48x+9=0\quad\right.$$

Diese Gleichung kann man numerisch mit dem Newton-Verfahren lösen (lassen):$$x_1\approx0,21026\quad;\quad x_2\approx0,98389$$

Comments

Hey Tschakabumba,

mega vielen Dank für deinen super ausführlichen Lösungsansatz! Er ist zudem auch noch spannend aufgrund des Newton-Verfahrens. : O

Mit dem Taschenrechner wärs wahrscheinlich mitm quadrieren gegangen, aber wir dürfen keinen Taschenrechner benutzen. Dementsprechend ging ich von einer Lösung mit wenig Kommastellen aus.

Habs eben so gelöst.^^
Es ging nicht darum zwingend die $\sqrt{3x}$  aufzulösen.

Hab die $\sqrt{3x}$ mit der 4x² zusammengefasst in ($\sqrt{3x}$ - 2x)²

Das anschließende Auflösen der Klammer geschieht wie von selbst, sodass Wurzel und hoch2 sich gegenseitig auflösen.

Übrig bleibt: $\sqrt{3x}$ - 2x = 0

damit wäre $\frac{√3}{2}$ das Ergebnis

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Das kannst du aber nicht so "zusammenfassen":$$\left(\sqrt{3x}-2x\right)^2=3x-4x\sqrt{3x}+4x^2$$In deiner Originalaufgabe steht $3$, nicht $3x$.

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Oh, no. Du hast recht! Dann heißts weiter grübeln. >: D

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Ich muss etwas an meiner Aufgabenbeschreibung korrigieren :/

Wir suchen eine Lösungsmenge bei quadratischen (Un)Gleichungen. :S

Answer 2

Ich nehme an, es soll $$3 - 4 \sqrt{3} x+4x^2 = 0$$ heißen, da andernfalls keine quadratische Gleichung vorliegen würde. Diese Gleichung ist nun äquivalent zu $$\left(\sqrt{3}\right)^2 - 2\cdot \sqrt{3}\cdot 2x + \left(2x\right)^2 = 0$$ und damit zu $$\left(\sqrt{3}-2x\right)^2 = 0.$$ Die Lösung dieser Gleichung lässt sich nun leicht bestimmen.