Wurzelkriterium wie anwenden

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz, indem Sie ein geeignetes Konvergenzkriterium anwenden.

(i) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\sqrt[k]{17}-\frac{1}{10}\right)^{k} \)

(ii) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{\exp (-k)}{(-1)^{k+1}} \)

(iii) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(k !)^{2}}{(2 k) !} 3^{k} \)

(iv) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k}}{k^{3}} \)

Problem/Ansatz:

Hallo eine Frage wir haben ja unterschiedliche Konvergenz Kriterium aber leider komme ich durcheinander beim anwenden kennt jemand ein Trick ?

Auch das anwenden fällt mir schwer, kommt bei der i wurzelkriterium ?

Answer 1

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\sqrt[k]{17}-\frac{1}{10}\right)^{k} \)

Wurzelkriterium macht Sinn; denn

\( \sqrt[k]{\left(\sqrt[k]{17}-\frac{1}{10}\right)^{k} } = \sqrt[k]{17}-\frac{1}{10}\)

hat für k gegen ∞ den Grenzwert 0,9  <  1.

Probier mal bei (ii) mit Quotienten.

Comments

Okay danke probiere ich jetzt mal

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Eine Frage noch bei der i wenn ich den wurzelkriterium anwenden möchte müsste ich doch so vorgehen = die kte Wurzel aus 17 ziehen = 4.1… (die minus 1/10 weg lassen, da ein minus vorsteht) und da es größer als 1 ist ist es divergent. Ist es so richtig oder muss ich dort mehr machen ?

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Also ich weiß nicht ob ich richtig gerechnet habe aber aber bei ii schließe ich auf divergent oder? Denn am Ende meiner Rechnung komme ich auch 1 + 1/k und da 1+ steht wird es immer größer als 1 sein oder größer gleich stimmt es ?

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Aber ich bin mir nicht sicher weil k = 0 ist

Answer 2

Hallo

Trick ist übertrieben, wenn da im wesentlichen (Ausdruck)^k steht, dann Wurzelkriterium.

Wenn man ab irgendeinem k eine  geometrische Reine sieht, dann die als Majorante verwenden etwa bei a)

bei alternierenden Reihen Leibniz Kriterium also bei b) oft findet man auch sonst ne Majorane oder Minorante.

wenn man nichts dergleichen sieht, erstmal Quotientenkriterium

Aber i.A. sieht man ne Majorane oder Minorante leicht,  oder das Wurzelkriterium drängt sich auf, Aber das quotientenkriterium ist ja auch schneller überprüft, als lange nach einem "Trick" zu suchen

lula

Comments

Vielen Dank ja ich habe mir auch ein Video angeschaut aber dieses umrechnen um zu gucken welches Kriterium passt ist für mich nicht kniffelig:/ bei iv ist divergiert oder ?

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Hallo

ja IV divergiert, die Summanden bilden keine Nullfolge, das überprüft man immer zuerst, die Summanden sind für k>3 alle größer 1,

Gruß lul

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Also ich weiß nicht ob ich richtig gerechnet habe aber aber bei ii schließe ich auf divergent oder? Denn am Ende meiner Rechnung komme ich auch 1 + 1/k und da 1+ steht wird es immer größer als 1 sein oder größer gleich stimmt es ?

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Hallo

\( \sqrt[k]{17} \)  geht für k gegen oo gegen 1, schon ab k=100 etwa ist die Wurzel <1,03