Wie kann ich eine Funktion zu einer Wertetabelle mit immer größerer Änderungsrate aufstellen?

Question

Aufgabe:

Ich soll aus folgender Wertetabelle eine Funktion aufstellen. Die Änderungsrate ändert sich jedoch ebenfalls.

Problem/Ansatz:

X 0 Y 1000

X 1 Y 2075

X 2 Y 3225

X 3 Y 4450

X 4 Y 5750

Die Änderungsrate ist hier immer 1000 und für pro x wert kommen 75 auf die vorherigen drauf. Wie kann ich hierzu eine Funktionsgleichung aufstellen?

Answer 1

Da kenne ich auch so ein Beispiel:

x	y
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16

Die Änderungsrate ist erst 1, dann 3, dann 5, dann 7 ...

Sie erhöht sich ebenfalls regelmäßig um einen konstanten Betrag (hier nicht um 75, sondern um 2).

Funktionstyp erkannt?

Comments

x² aber wie ist das dann bei meiner Funktion?

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Nimm drei Wertepaare und mache damit den Ansatz y=ax²+bx+c (Aufgabentyp: "Der Graph einer quadratischen Funktion verläuft durch die drei Punkte ...").

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Also mache ich daraus ein LGS? Wie eine Steckbriefaufgabe?

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Nicht "wie" eine Steckbriefaufgabe. Es IST eine.

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Vielen Dank! Ich hab es geschafft!

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Könntest du mir das ganze vielleicht einmal ausrechnen, wenn man die x und y Werte vertauscht? Das kriege ich irgendwie nicht hin…

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Bilde von deiner Funktion (deren Gleichung du uns nocht nicht gezeigt hast) die Umkehrfunktion.

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Die Funktion: 37,5x²+1037,5x+1000

Von der Umkehrfunktion habe ich noch nichts gehört... wie berechne ich diese?

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Die Funktion: 37,5x²+1037,5x+1000

Von der Umkehrfunktion habe ich noch nichts gehört... wie berechne ich diese?

Da sind zwei Ziffern zu viel, und y fehlt.

Richtig wäre  y=37,5x²+37,5x+1000.

Könntest du mir das ganze vielleicht einmal ausrechnen, wenn man die x und y Werte vertauscht?

Wenn man darin x und y vertauscht wird daraus

x=37,5y²+37,5y+1000.

Ich würde das mal lieber in Bruchform schreiben als

x=\(\frac{75}{2}y²+\frac{75}{2}y+1000\).

Das muss nun wieder nach y aufgelöst werden.

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Was kommt dann raus?

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\(\frac{2}{75}x=y²+y+\frac{80}{3}\)

\(\frac{2}{75}x=y²+y\red{+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}+\frac{80}{3}\)

\(\frac{2}{75}x=(y+0,5)^2-\frac{1}{4}+\frac{80}{3}\)

\(\frac{2}{75}x+\frac{1}{4}-\frac{80}{3}=(y+0,5)^2\)

mit den beiden Möglichkeiten

\(y+0,5 =\sqrt{\frac{2}{75}x+\frac{1}{4}-\frac{80}{3}}\) und

\(y+0,5 =-\sqrt{\frac{2}{75}x+\frac{1}{4}-\frac{80}{3}}\)

Da bei deinen Wertepaaren x und y positiv sind entfällt die zweite Lösung, und es gilt also

\(y =\sqrt{\frac{2}{75}x+\frac{1}{4}-\frac{80}{3}}-0,5\)

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Kann man die Funktion auch noch weiter vereinfachen?

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Ja, du kannst 1/4-80/3 zu einem Bruch vereinen.

Mehr geht nicht.

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Könnte ich auch die Tabelle umdrehen und dann ebenfalls eine steckbriefaufgabe draus machen?

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Kannst du. Nur ist der dafür erforderliche Ansatz \(y= a\sqrt{x+b}+c \) nicht unbedingt allen geläufig.

Hättest du diesen Ansatz selbst hinbekommen?

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Nein ich denke nicht :D

Vielen dank für deine Hilfe!

Answer 2

Bilde die Differenzen der Differenzen der y-Werte.

75|150|225|300

 75 | 75 | 75

Da die Werte hier konstant sind, wie du ja schon selbst gemerkt hast, ist es eine quadratische Funktion.

:-)