Überprüfen ob Funktionen stetig fortsetzbar

Question

Aufgabe

Hallo!

Ich soll hier überprüfen, ob folgende Funktionen im Punkt x0 stetig fortsetzbar sind.

Ich weiß nicht, ob ich da richtig vorgegangen bin, aber ich‘ hab da was probiert. Mein Ansatz kommt mir nicht besonders richtig vor. Könnt ihr mir weiterhelfen bzw. kann mir jemand schritt für schritt erklären wie ich die Aufgabe lösen muss.

Mein Ansatz wäre:

\( x \longmapsto \frac{x^{3}-x^{2}-x+4}{x^{2}+3 x+2}, x_{0}=-1 \)
RECHTSSEITIG
\( \lim \limits_{x \rightarrow-1^{+}} f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow-1^{+}} \frac{(-1+\varepsilon)^{3}-(-1+\varepsilon)^{2}-(-1+4)}{(-1+\varepsilon)^{2}+3 \cdot(-1+\varepsilon)+2} \)

\( \begin{aligned} x \mapsto & \frac{4 x}{x^{3}+2 x+1}, x_{0}=-1 \\ \lim f(x) &=\lim \limits_{x \rightarrow-1+} \frac{4 \cdot(-1+\varepsilon)}{(-1+\varepsilon)+2(-1+\varepsilon)+1} \\ &=\frac{-4+\varepsilon}{-1+\varepsilon-2+2 \varepsilon+1} \\=& \frac{-4+\varepsilon}{3 \varepsilon-2}=\frac{4}{2}=2 \end{aligned} \)

\( \begin{aligned} \lim \limits_{x \rightarrow-1^{-}} & \frac{4 x}{x^{2}+2 x+1}=\frac{4 \cdot(-1-\varepsilon)}{(-1-\varepsilon)^{2}+2 \cdot(1-\varepsilon)+1} \\=& \frac{-4-4 \varepsilon}{1+2 \varepsilon+\varepsilon^{2}+2-2 \varepsilon+1}=\frac{-4-4 \varepsilon}{\varepsilon^{2}+4}=-1 \end{aligned} \)

Answer 1

Für -1,4<x<-1 v sind alle Funktionswerte negativ. für x>-1 sind alle Funktionswerte positiv.

Comments

Versteh´ ich noch nicht. Wie bist du auf -1,4 gekommen?

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In der Nähe (links davon) liegt die einzige Nullstelle der Funktion

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Ja, aber wie bekomme ich die Grenzwerte heraus? Ich brauch ja den links und rechtsseitigen Grenzwert.

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Das ist aber kein stichhaltiges Argument. Die Funktion f(x)=\( \frac{(x+1)^2}{x+1} \) hat auch die Eigenschaft

Für -1,4<x<-1 v sind alle Funktionswerte negativ. für x>-1 sind alle Funktionswerte positiv.

ist aber im Gegensatz zur nachgefragten Funktion

\(x \longmapsto \frac{x^{3}-x^{2}-x+4}{x^{2}+3 x+2} \)

an der Stelle -1 stetig fortsetzbar.

PS: Die Verwendung von -1,4 war hoffentlich nur im Sinne einer groben Abschätzung gedacht? In dieser Aufgabe hat diese Zahl überhaupt keine nennenswerte Rolle.

Answer 2

Warum wird überhaupt die Stelle x=-1 betrachtet?

Weil da der Nenner 0 ist.

Der Zähler ergibt beim Einsetzen vonn x=-1 den Wert 3.

Wo der Nenner 0 ist und der Zähler nicht, dort hat eine gebrochenrationale Funktion eine Polstelle → sie kann dort nicht stetig fortsetzbar sein.

Comments

Okay, dann ist auch die 2) nicht stetig fortsetzbar, da wir im Zähler -4 und im Nenner eine 0 haben.

Aber kann ich trotzdem die links bzw. rechtsseitigen Grenzwerte ausrechnen, um zu überprüfen, ob die Grenzwerte übereinstimmen? Wenn nicht, dann sind sie nicht stetig fortsetzbar.

Edit: Wenn ich bei 2) die Grenzwerte berechne, dann stimmen die überein. Ich hab sowohl beim links als auch beim rechtsseitigen Grenzwert -4 rausbekommen. Sind sie jetzt doch stetig fortsetzbar?

Answer 3

Soll wirklich \(f(x)=\frac{4x}{x^3+2x+1}\) an der Stelle \(x_0=-1\)

untersucht werden? Da es sich nicht um eine Nullstelle des Nenners handelt,

ist die Funktion in \(x_0=-1\) stetig; denn rationale Funktionen sind überall

stetig außer in den Nullstellen des Nenners. Nach einer stetigen Fortsetzung

zu suchen, gibt hier wenig Sinn, da \(f\) bereits stetig ist.

Comments

Ich habe gerade bemerkt, dass mein Text nicht richtig umgewandelt worden ist, es soll 4x/ x^2 + 2x +1 sein und nicht x^3 . Ganz unten, der linksseitige Grenzwert, der ist wiederum richtig umgeformt worden.

1)  x —> x^3 -x^2  -x +4 / x^2 + 3x +2

2) 4x / x^2 + 2x +1

Tut mir leid für die Verwirrung, habe erst später bemerkt, dass die zahl nicht richtig umgeformt wurde.

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OK. Dann wirkt hier dasselbe Argument wie das von abakus.

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Stimmt die obige Überlegung von mir?

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Zu 1) und zu 2)
In beiden Fällen ist zwar -1 nullstelle des Nenners aber
nicht des Zählers. Es liegt also eine Polstelle (!!!) vor, die
nicht behoben werden kann. Also nicht stetig fortsetzbar.