Zeigen Sie x ↦ (1+ 1/x)^x ist auf R>0 streng monoton wachsend

Question

Wir definieren f : R_>0 → R und φ :] -1, ∞[ → R durch

$$ f ( x ) : = x \log \left( 1 + \frac { 1 } { x } \right) $$

$$ \varphi ( \xi ) : = \log ( 1 + \xi ) - \frac { \xi } { 1 + \xi } $$

Zeigen Sie:

a) \( f ^ { \prime } ( x ) = \varphi \frac { 1 } { x } \quad f \text { für } x > 0 \)

b) φ ist auf R_≥0 streng monoton wachsend.

c) φ (ξ) > 0 für ξ>0

d) Die Funktion \( x \mapsto \left( 1 + \frac { 1 } { x } \right) ^ { x } \) ist auf R_>0 streng monoton wachsend.

Answer 1

Zu d)

Sei f(x) = (1+1/x)^x  für  x>0. Dann ist
f'(x) = f(x)[log(1+1/x) - 1/(x+1)].

Für  x>0  ist
e^1/(x+1) =  1 + 1/[1!(x+1)¹] + 1/[2!(x+1)²] + 1/[3!(x+1)³] + ...
Es folgt
e^1/(x+1) < 1 + 1/(x+1) < 1 + 1/x.
Anwenden des Logarithmus ergibt
1/(x+1) <  log(1+1/x).

Da auch  f(x)>0 ist, gilt also  f'(x)>0. D.h. f  ist streng monoton wachsend.

Comments

Sorry, falsche Lösung. Denkfehler im zweiten Teil.

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Korrektur

Sei  h(x) = log(1+1/x) - 1/(x+1).
Dann ist  h'(x) = -1/[x(x+1)²].
Also ist  h  streng monoton fallend.
Wegen  lim_x→∞h(x) = 0 - 0 = 0  ist  h(x)>0.
Da auch  f(x)>0 ist, gilt also  f'(x) = f(x)h(x)>0. D.h.  f  ist streng monoton wachsend.

Answer 2

Bei der C) muss man doch "nur" zeigen, dass    log(1+ξ) >  ξ / 1+ ξ oder nicht?

Steh da aber auf dem Schlauch bei dem beweis dieser Aussage.

zu a)

Ist ja nur eine Sache der umformung.

nachdem man f(x) abgeleitet hat hab ich dann mit  1/x² erweitert und kam anschließend auf φ(1/x).

 

zu b)

φ(x) ist streng monoton wachsend wenn φ'(x) > 0

(1 / 1 + x ) > 0  und  ( 1 / (1+x)² ) > 0 also ist φ'(x) > 0 also streng monoton wachsend.

Noch ein frage zu der d)

wieso ist die Ableitung so, also welche regel wurde dafür benutzt?

Comments

Könntest du das eventuell ausführlicher machen? :)