Zeigen Sie, dass für P(B)=1 die Gleichung P(A B)=P(A) gilt.

Question

Seien \( A, B \) Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \). Zeigen Sie, dass für \( P(B)=1 \) die Gleichung \( P(A \cap B)=P(A) \) gilt.

Answer 1

Aloha :)

Allgemein gilt:$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

Wenn \(P(B)=1\) ist, tritt das Ereignis \(B\) mit Sicherheit ein. Da \(B\) eine Teilmenge von \(A\cup B\) ist, tritt dann auch das Ereignis \(A\cup B\) mit Sicherheit ein, formal heißt das \(P(A\cup B)=1\). Wir setzen ein:$$1=P(A)+1-P(A\cap B)\quad\implies$$$$P(A)=P(A\cap B)$$