Ableitung von Funktion über Umkehrfunktion bilden

Question

Aufgabe:

Bilden Sie die Ableitung der angegebenen Funktionen über die jeweilige Umkehrfunktion.

\( f_{2}(x)=\sqrt{x+1} \)

Answer 1

Aloha :)

Ableiten der Funktion$$y=\sqrt{x+1}$$$$y'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left((x+1)^{\frac12}\right)=\frac12(x+1)^{-\frac12}\cdot1=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$$Umkehrfunktion bilden:$$\left.y=\sqrt{x+1}\quad\right|\text{quadrieren}$$$$\left.y^2=x+1\quad\right|-1$$$$x=y^2-1$$Ableitung der Umkehrfunktion direkt:$$\frac{dx}{dy}=2y$$Ableitung der Umkehrfunktion indirekt:$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}=\frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}}=2\sqrt{x+1}\stackrel{(x=y^2-1)}{=}2\sqrt{(y^2-1)+1}=2y$$

Comments

Bist du dir sicher, dass du die Aufgabenstellung erfast hast?

---

Ja.\(\phantom{noch fehlende Zeichen ergänzen.}\)                                                      

---

Der Rechenweg zu der Lösung von der Lehrerin war ein bisschen anders. Macht diese Lösung für euch mehr Sinn? :

\( f_{2}(x)=\sqrt{x+1} \quad 1^{2} \)
\( y^{2}=x+1 \quad \mid-1 \)
\( x=y^{2}-1 \)
\( \Rightarrow \quad f^{-1}(x)=\sqrt{x+1} \)
\( \Rightarrow \quad f(x)=x^{2}-1 \)

\( f(x)=x^{2}-1 ; \quad f^{\prime}(x)=2 x ; f^{-1}(x)=\sqrt{x+1} \)
\( \left(f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}\left(f^{-1}(x)\right.}=\frac{1}{f^{\prime}(\sqrt{x+1})}=\frac{1}{2 \cdot \sqrt{x+1}} \)

---

Die Lösung deiner Leererin geht ein wenig durcheinander. Was ist denn nun die Funktion und was ist die Umkehrfunktion?$$f_2(x)=\sqrt{x+1}\implies f'_2(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$$Die Umkehrfunktion dazu lautet:$$f_2^{-1}(x)=x^2-1\implies\left(f_2^{-1}\right)'=2x$$

---

Bist du dir sicher, dass du die Aufgabenstellung erfast hast?

Ja.

Die Lösung deiner Leererin geht ein wenig durcheinander. Was ist denn nun die Funktion und was ist die Umkehrfunktion?

Also hast du die Aufgabenstellung NICHT erfasst.

Es geht in der Aufgabe NICHT darum, die Ableitung der Wurzelfunktion zu bestimmen, indem man die bekannte Ableitungsregel für selbige verwendet.

Es geht darum, wie man Funktionen ableiten kann, wenn man dafür keine Ableitungsregel kennt und nur weiß, wie man die Umkehrfunktion der abzuleitenden Funktion ableiten kann.

Gast2016 hat bereits den Link zu der Regel gepostet.

(https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel )

---

Es geht darum, wie man Funktionen ableiten kann, wenn man dafür keine Ableitungsregel kennt und nur weiß, wie man die Umkehrfunktion der abzuleitenden Funktion ableiten kann.

Das steht auch nicht da!

Bilden Sie die Ableitung der angegebenen Funktionen über die jeweilige Umkehrfunktion.

über = mitttels der
Wie soll man wissen, wie man die Umkehrfunktion ableitet, wenn
man keine Ableitungsregeln kennt. Widerspruch!

---

wenn man keine Ableitungsregeln kennt.

Habe ich das behauptet?

Bei mir stand da

wenn man ... nur weiß, wie man die Umkehrfunktion ... ableiten kann.

Es ist durchaus der Fall denkbar, dass man bereits quadratische Funktionen ableiten kann, Wurzelfunktionen aber (zu Beginn des Analysisunterrichts) noch nicht.

Zweites Beispiel: Während meiner Schulzeit haben wir irgendwann die Ableitungsregel für Exponentialfunktionen kennengelernt.

Davon ausgehend wurde mit der Umkehrregel dann hergeleitet, wie man zukünftig auch die Logarithmusfunktionen ableiten kann.

---

Habe ich das behauptet?

wenn man dafür keine Ableitungsregel kennt und

Warum schreibst du nicht einfach deinen Lösungsweg hin wie andere auch?
Gerade in so einem Fall.
Das erspart Zeit, Nerven und weitere Missverständnisse.
Typisch Lehrer! Alles verkomplizieren, bis keiner mehr durchblickt!
Verwirrung um der Verwirrung willen! Es ist schon oft mit euch Matheleh/erern!

---

Warum schreibst du nicht einfach deinen Lösungsweg hin wie andere auch?

Warum soll ich denn einen Lösungsweg hinschreiben?

Math828 hat den Lösungsweg seiner Lehrerin aufgeschrieben. Um diesen also bereits aufgeschriebenen Lösungsweg geht es.

Tschaka hat den Sinn dieses Lösungswegs nicht erfasst. Darum habe ich meine Sicht geschrieben, was der Hintergrund dieses Vorgehens sein könnte.

---

Warum soll ich denn einen Lösungsweg hinschreiben?

Weil du vlt.noch etwas anderes Im Sinn hattest.
Bei dir weiß ich oft nie, woran ich bin.
Und ich bin nicht der Einzige.
Du hast den Ansatz der Lehrerin nicht expressis verbis bestätigt =
dich nicht klar geäußert.

Auch das steht noch im Raum:

wenn man dafür keine Ableitungsregel kennt und

Offenbar werden sehr wohl die Regeln verwendet.

Die Aufgabe ist eine Reise von Hamburg nach München über Paris.
Der Sinn der Aufgabe erschließt sich mir nicht außer dass man es
höchst kompliziert machen kann, wo es völlig unnötig ist.

Answer 2

vgl:

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrregel