Umkehrfunktion bilden von f(x)

Question

Aufgabe:

Die gegebene Funktion ist f(x) = |\( x^{3} \)-1|

Man soll die Umkehrfunktion bilden.

Problem/Ansatz:

Ich würde einfach umstellen nach x. Also +1, 3. Wurzel ziehen. Aber die richtige Antwort ist: g(x) = \( \sqrt[3]{-y+1} \). Wie kommt man auf -y + 1?

Answer 1

Die Funktion ist auf \(\mathbb{R}\) nicht injektiv, hat dort deshalb keine Umkehrfunktion. Schränke den Definitionsbereich so ein, dass die Funktion injektiv ist. Stelle dann den Funktionsterm ohne Betragsstriche dar.

Comments

Ok, das bedeutet, damit die Funktion Injektion ist, müsste sie von (-inf, 1] definiert sein oder von [1, inf). Wie würde man die Funktion ohne Betragsstriche schreiben?

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Wie würde man die Funktion ohne Betragsstriche schreiben?

Als x³-1 für x>=1 und als 1-x³ für x<1.

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Ah stimmt, vielen Dank. Wie weiß ich jetzt welchen Definitiknsbereich ich nehmen soll für die Umkehrfunktion, (-inf, 1] oder [1, inf)?

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Jeder der beiden Abschnitte hat seine eigene Umkehrfunktion.

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Das muss aus dem vollständigen Aufgabentext hervorgehen.

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Danke für die schnelle Antwort! Die Aufgabe war die folgende:

Text erkannt:

SC 1 (I) Es sei \( f: x \mapsto\left|x^{3}-1\right| \). Welche der folgenden Funktionen \( g \) ist eine Umkehrfunktion von \( f \) mit passenden Definitionsintervallen?
(A) \( g:[0, \infty) \rightarrow[1, \infty), y \mapsto \sqrt[3]{-y+1} \)
(C) \( g:[0, \infty) \rightarrow(-\infty, 1], y \mapsto \sqrt[3]{y+1} \)
(B) \( g:[0, \infty) \rightarrow(-\infty,-1], y \mapsto \sqrt[3]{y+1} \)
(D) \( g:[0, \infty) \rightarrow(-\infty, 1], y \mapsto \sqrt[3]{-y+1} \)

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es ist nur nach einer Umkehrfunktion gefragt. Das schließt nicht aus, dass es noch mehrere gibt. Grundsätzlich ist jede der beiden Funktionen$$ y \mapsto \sqrt[3]{-y+1}\\ y \mapsto \sqrt[3]{y+1} $$eine Umkehrfunktion, jeweils für den oberen und unteren Ast (s. Diagramm). Den Unterschied macht der Bildbereich. Die beiden Umkehrfunktionen sind:$$g_1:\space [0, \infty) \rightarrow(-\infty, 1],\quad y \mapsto \sqrt[3]{-y+1}\\g_2:\space [0, \infty) \rightarrow[1, \infty), \quad y \mapsto \sqrt[3]{y+1}$$\(g_1\) ist die Variante \(D\) und \(g_2\) kommt in der Auswahl nicht vor.

Und so sieht das aus:

Die lila Kurve ist der Graph von \(g_1\) und die rote Kurve der Graph von \(g_2\).

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Danke für die Antwort, das ergibt jetzt Sinn!