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Aufgabe 2
0 von 3 Punkte
Gegeben seien die Funktion
\( f(x)=(4 x+5) \cdot e^{3 x} . \)
sowie der Punkt \( x_{0}:=-\frac{4}{3} \) aus dem Definitionsbereich von \( f \).
: F Füllen Sie die Lücken in folgender Rechnung zur Ableitung der Umkehrfunktion. 3 Punkten
Ein monotoner Zweig um \( x_{0} \)
Bestimmen Sie zunächst das maximale offene Intervall der Form \( (a, b) \subseteq \mathbb{R} \), sodass
- der Punkt \( x_{0}=-\frac{4}{3} \in(a, b) \) enthalten und
- die Funktion \( f(x) \) auf \( (a, b) \) monoton ist.
Die Intervallgrenzen lauten
\( \begin{array}{l} a=\cdots \times \quad-19 / 12 \rho \quad \text { und } \\ b=-\times \quad \text { oo } \end{array} \)
[Geben Sie ganze Zahlen wie gewohnt in der Form 2, oder \( -3 \) an,
Brüche wie \( \frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} \) vollständig gekürzt als \( -3 / 2 \),
sowie den Wert \( \infty \) als oo, analog \( -\infty \) als \( -00 \).]
Geben Sie das Bild von \( f((a, b)) \) als offenes Intervall der Form \( (c, d) \subseteq \mathbb{R} \) an.
Die Intervallgrenzen lauten
\( \begin{array}{l} c=-\times \quad-4 / 3^{*} \exp (-19 / 4) \\ d=\ldots \times \quad \text { oo } \end{array} \)
[Den Ausdruck \( \frac{3}{4} e^{-2} \) gebe man beispielsweise als \( 3 / 4 * \exp (-2) \) ein.]
Ableitung der Umkehrfunktion
Die Funktion \( f:(a, b) \rightarrow(c, d) \) lässt sich also eindeutig invertieren.
Bezeichne \( g:=f^{-1}:(c, d) \rightarrow(a, b) \) die Umkehrfunktion von \( f \).
\( g^{\prime}\left(y_{0}\right)=-\times \quad 1 / 3^{*} \exp (4) \)
