Beweis zu den komplexen Zahlen

Question

Aufgabe: Beweisen oder widerlegen Sie: Es gibt z ∈ C so, dass |z| − z = i gilt. (Es geht um die komplexen Zahlen)

Problem/Ansatz: Ich liege einfach auf dem Holzweg und kann keinen Anfang finden. Habe z.B. schon versucht zu quadrieren und dadurch den Betrag in x^2 + y^2 zu kriegen, das hat mir aber auch nicht weitergeholfen. Ich denke ja, dass ich widerlegen soll, finde aber keine endgültige klare Ungleichung :/

Comments

Meinst du \(|z|-z=i\)  ?

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Ja (hab dein i nicht gefunden :D)

Answer 1

Sei \(z=x+iy\) mit reellen \(x,y\). Dann hat man

\(|z|-z=i\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}-x-iy=i\).

Der Vergleich von Realteil und Imaginärteil liefert:

\(x=\sqrt{x^2+y^2}\) und \(y=-1\). Daraus folgt

\(x=\sqrt{x^2+1}\), also \(x^2=x^2+1\) und damit \(0=1\),

Widerspruch: Es gibt kein solches \(z\).