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Aufgabe:

Substitution anhand der Nullstellen in Linearfaktordarstellung angeben.

Problem/Ansatz:

Ausgangsfunktion lautet

f(x)x^4-7x^2+12

Die Nullstellen beim rücksubstituieren sind

x^2 = 4 / Wurzel ziehen

x1,2= +-4

Nächste Nullstelle

x^2= 3 / Wurzel ziehen

x1,2= +-1,7


Um diese in die Linearfaktordarstellung anzugeben muss ich das Vorzeichen wechseln

f(x)=x(x-4)(x-1,7)

Ist das überhaupt richtig? Die Plus Minus (+-) bei meinen Nullstellen verwirren mich, da ich mir nicht sicher bin, ob der Vorzeichenwechsel richtig angewandt wurde von mir.

Avatar von

Du hhast einen Linearfaktor verloren, es müssen vier sein.

Denkfehler bei

x2 = 4 / Wurzel ziehen

x1,2= +-4

Wurzel ist 2


Was auch hier geändert werden muss

Um diese in die Linearfaktordarstellung anzugeben muss ich das Vorzeichen wechseln

f(x)=x(x-4)(x-1,7)


Den Antworten heraus, gehe ich davon aus, dass es so aussehen muss

f(x)=x(x+2)(x-2)(x+1,7)(x-1,7)

Nein, jetzt hast du fünf Linearfaktoren, also einen zu viel. Außerdem ist 1.7 nicht dasselbe wie die Quadratwurzel von 3.

Jetzt bin ich verwirrt.

Vielleicht ohne das x vor den Klammern?

also f(x)=(x+2)(x-2)(x+1,7)(x-1,7)

Weshalb ist 1,7 nicht die Quadratwurzel aus 3? Meinst du ich muss es eher ausschreiben zu 1,73?

Okay, der Faktor \(x=(x-0)\) ist raus, das ist gut. Weiter würde ich die Quadratwurzel von 3 immer als \(\sqrt{3}\) schreiben, denn \(3\) ist ja keine Quadratzahl.

Genau so habe ich es in den Taschenrechner getippt.

\( \sqrt{3} \) jedoch verstehe ich nicht wo der Bezug dazu aus meiner Frage gestellt wurde.

Ich schrieb x^2 = 3 / Wurzel ziehen

Also Quadratwurzel von 3 ziehen um auf 1,7 zu kommen.

\(1.7\) ist eine Näherung, der exakte Wert wird durch \(\sqrt{3}\) beschrieben.

1,7^2=2,89 nicht 3, wenn du also diene Klammern ausmultiplizierst kommt nicht f(x) raus wenn da 1,7 statt \( \sqrt{3} \)steht

lul

Weshalb ist 1,7 nicht die Quadratwurzel aus 3? Meinst du ich muss es eher ausschreiben zu 1,73?

Weil 1,7 * 1,7 nicht 3 ist, sondern 2,89.

1,73 * 1,73 ist auch nicht 3, sondern 2,9929.

Und bevor du auch die Idee kommst, \(\sqrt{3}\) als 1,732 zu schreiben:

1,732 * 1,732 ist 2,999824 und damit auch nicht 3.

Wird von mir erwartet, dass ich nun 1.73205080757 hinschreibe oder was

1.73205080757 * 1.73205080757 ist AUCH nicht 3.

Wenn du das mit schriftlicher Multiplikaiton lösen würdest, würdest du eine Zahl mit vielen Nachkommastellen bekommen, bei der die letzte Ziffer eine 9 ist. Die Zahl 3 = 3,000000000 sieht aber anders aus.

Die einzige beiden exakten Lösungen von x²-3=0 sind

 \(\Huge{\sqrt{3}}\) und \(\Huge{-\sqrt{3}}\)

3 Antworten

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zum Vergleich: $$f(x) = x^{4}-7x^{2}+12 = \left(x^2-3\right)\cdot\left(x^2-4\right) = \dots$$ (ohne Substitution)

Avatar von 26 k
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Hallo

1.√4=2

du hast also die 4 Nullstellen -2, -√3, √3, 2

und sicher nicht 0

also ist das x in deiner Darstellung schon mal sehr falsch.

Wenn du die richtige Lineardarstellung hast kannst du ja zur Probe ausmultiplizieren

f(x)=(x+√3)*(x+2)*(x-√3)*(x-2)

die Substitution sollte man mit einem anderen Namen machen etwa y^4-7y+12=0

dann wär dein Fehler mit x=4 nicht passiert?

lul

Avatar von 108 k 🚀

Ich schrieb anstelle von x1,2= 2 die Ziffer 4 war wohl ein Denkfehler meinerseits.

Wurzel aus 4 = 2 also x1,2= 2 nicht wahr?

und sicher nicht 0

Was meinst Du damit, bzw. woher kommt die 0?


die Substitution sollte man mit einem anderen Namen machen etwa y4-7y+12=0

Daher ja das z, denn vorher war es x

Also habe ich beim Funktionsterm substituieren x^2 = z und somit f(z) gebildet

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\(f(x)=x^4-7x^2+12\)

\(x^4-7x^2+12=0\)

\(x^4-7x^2=-12\)

\((x^2-\frac{7}{2})^2=-12+(\frac{7}{2})^2=-\frac{48}{4}+\frac{49}{4}=\frac{1}{4}|\sqrt{}\)

1.)  \(x^2-\frac{7}{2}=\ \frac{1}{2} \)

\(x^2=4\)

\(x₁=2\)

\(x₂=-2\)

2.)  \(x^2-\frac{7}{2}=-\ \frac{1}{2} \)

\(x^2=3\)

\(x₃=\sqrt{3} \)

\(x₄=-\sqrt{3} \)

Avatar von 40 k

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