Substitutionsverfahren in Linearfaktordarstellung

Question

Aufgabe:

Substitution anhand der Nullstellen in Linearfaktordarstellung angeben.

Problem/Ansatz:

Ausgangsfunktion lautet

f(x)x^4-7x^2+12

Die Nullstellen beim rücksubstituieren sind

x^2 = 4 / Wurzel ziehen

x1,2= +-4

Nächste Nullstelle

x^2= 3 / Wurzel ziehen

x1,2= +-1,7

Um diese in die Linearfaktordarstellung anzugeben muss ich das Vorzeichen wechseln

f(x)=x(x-4)(x-1,7)

Ist das überhaupt richtig? Die Plus Minus (+-) bei meinen Nullstellen verwirren mich, da ich mir nicht sicher bin, ob der Vorzeichenwechsel richtig angewandt wurde von mir.

Comments

Du hhast einen Linearfaktor verloren, es müssen vier sein.

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Denkfehler bei

x2 = 4 / Wurzel ziehen

x1,2= +-4

Wurzel ist 2

Was auch hier geändert werden muss

Um diese in die Linearfaktordarstellung anzugeben muss ich das Vorzeichen wechseln

f(x)=x(x-4)(x-1,7)

Den Antworten heraus, gehe ich davon aus, dass es so aussehen muss

f(x)=x(x+2)(x-2)(x+1,7)(x-1,7)

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Nein, jetzt hast du fünf Linearfaktoren, also einen zu viel. Außerdem ist 1.7 nicht dasselbe wie die Quadratwurzel von 3.

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Jetzt bin ich verwirrt.

Vielleicht ohne das x vor den Klammern?

also f(x)=(x+2)(x-2)(x+1,7)(x-1,7)

Weshalb ist 1,7 nicht die Quadratwurzel aus 3? Meinst du ich muss es eher ausschreiben zu 1,73?

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Okay, der Faktor \(x=(x-0)\) ist raus, das ist gut. Weiter würde ich die Quadratwurzel von 3 immer als \(\sqrt{3}\) schreiben, denn \(3\) ist ja keine Quadratzahl.

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Genau so habe ich es in den Taschenrechner getippt.

\( \sqrt{3} \) jedoch verstehe ich nicht wo der Bezug dazu aus meiner Frage gestellt wurde.

Ich schrieb x^2 = 3 / Wurzel ziehen

Also Quadratwurzel von 3 ziehen um auf 1,7 zu kommen.

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\(1.7\) ist eine Näherung, der exakte Wert wird durch \(\sqrt{3}\) beschrieben.

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1,7^2=2,89 nicht 3, wenn du also diene Klammern ausmultiplizierst kommt nicht f(x) raus wenn da 1,7 statt \( \sqrt{3} \)steht

lul

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Weshalb ist 1,7 nicht die Quadratwurzel aus 3? Meinst du ich muss es eher ausschreiben zu 1,73?

Weil 1,7 * 1,7 nicht 3 ist, sondern 2,89.

1,73 * 1,73 ist auch nicht 3, sondern 2,9929.

Und bevor du auch die Idee kommst, \(\sqrt{3}\) als 1,732 zu schreiben:

1,732 * 1,732 ist 2,999824 und damit auch nicht 3.

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Wird von mir erwartet, dass ich nun 1.73205080757 hinschreibe oder was

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1.73205080757 * 1.73205080757 ist AUCH nicht 3.

Wenn du das mit schriftlicher Multiplikaiton lösen würdest, würdest du eine Zahl mit vielen Nachkommastellen bekommen, bei der die letzte Ziffer eine 9 ist. Die Zahl 3 = 3,000000000 sieht aber anders aus.

Die einzige beiden exakten Lösungen von x²-3=0 sind

 \(\Huge{\sqrt{3}}\) und \(\Huge{-\sqrt{3}}\)

Answer 1

zum Vergleich: $$f(x) = x^{4}-7x^{2}+12 = \left(x^2-3\right)\cdot\left(x^2-4\right) = \dots$$ (ohne Substitution)

Answer 2

Hallo

1.√4=2

du hast also die 4 Nullstellen -2, -√3, √3, 2

und sicher nicht 0

also ist das x in deiner Darstellung schon mal sehr falsch.

Wenn du die richtige Lineardarstellung hast kannst du ja zur Probe ausmultiplizieren

f(x)=(x+√3)*(x+2)*(x-√3)*(x-2)

die Substitution sollte man mit einem anderen Namen machen etwa y^4-7y+12=0

dann wär dein Fehler mit x=4 nicht passiert?

lul

Comments

Ich schrieb anstelle von x1,2= 2 die Ziffer 4 war wohl ein Denkfehler meinerseits.

Wurzel aus 4 = 2 also x1,2= 2 nicht wahr?

und sicher nicht 0

Was meinst Du damit, bzw. woher kommt die 0?

die Substitution sollte man mit einem anderen Namen machen etwa y4-7y+12=0

Daher ja das z, denn vorher war es x

Also habe ich beim Funktionsterm substituieren x^2 = z und somit f(z) gebildet

Answer 3

\(f(x)=x^4-7x^2+12\)

\(x^4-7x^2+12=0\)

\(x^4-7x^2=-12\)

\((x^2-\frac{7}{2})^2=-12+(\frac{7}{2})^2=-\frac{48}{4}+\frac{49}{4}=\frac{1}{4}|\sqrt{}\)

1.)  \(x^2-\frac{7}{2}=\ \frac{1}{2} \)

\(x^2=4\)

\(x₁=2\)

\(x₂=-2\)

2.)  \(x^2-\frac{7}{2}=-\ \frac{1}{2} \)

\(x^2=3\)

\(x₃=\sqrt{3} \)

\(x₄=-\sqrt{3} \)