Berechnen Sie von folgenden komplexen Zahlen die Beträge

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie von folgenden komplexen Zahlen die Beträge
\( z_{1}=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{3} i\right)^{3}, \quad z_{2}=i+i^{2}+i^{3}+i^{4}+i^{5}, \quad z_{3}=-2-\sqrt{32} i . \)

Problem/Ansatz:

Also bei b hab ich den betrag, aber bei den anderen beiden verzweifle ich mit den Wurzeln. Könnte mir jemand dabei helfen?

Answer 1

Aloha :)

Der Betrag einer komplexen Zahl \(z=x+iy\) ist \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\). Damit rechnen wir:$$|z_1|=\left|\left(\frac12+\frac12\sqrt3\,i\right)^3\right|=\left|\frac12+\frac12\sqrt3\,i\right|^3=\left(\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(\frac12\sqrt3\right)^2}\right)^3=\left(\sqrt{\frac14+\frac34}\right)^3=1$$$$|z_2|=\left|i+i^2+i^3+i^4+i^5\right|=\left|i+i^2+i\cdot i^2+(i^2)^2+i\cdot(i^2)^2\right|$$$$\phantom{|z_2|}\!\!\!\!\!\stackrel{(i^2=-1)}{=}\left|i-1-i+1+i\right|=\left|i\right|=1$$$$|z_3|=\left|-2-\sqrt{32}\,i\right|=\sqrt{(-2)^2+(-\sqrt{32})^2}=\sqrt{4+32}=\sqrt{36}=6$$