\(f:\;(R,d)\rightarrow (R,d)\) ist ein Automorphismus des metrischen Raumes
\((R,d)\), wenn \(|f(x)-f(y)|=|x-y|\) für alle \(x,y\in R\) gilt.
Mit \(y=0\) bekommen wir: \(|f(x)-f(0)|=|x-0|=|x|\), also
\(f(x)-f(0)=x\) oder \(f(x)-f(0)=-x\), d.h.
\(f(x)=f(0)+x\) oder \(f(x)=f(0)-x\). Wir müssen nun zeigen,
dass entweder
\(\forall x\in R:\; f(x)=f(0)+x\) oder \(\forall x\in R: \; f(x)=f(0)-x\) gilt
und nicht etwa für gewisse \(x\) die erste, für gewisse andere \(x\) die zweite
Formel gilt. Zu diesem Zweck nehmen wir einmal an, es gäbe
\(x\in R\backslash \{0\}\), das der ersten Formel gehorcht und
\(y\in R\backslash \{0\}\), das der zweiten Formel gehorcht:
\(f(x)=f(0)+x\), \(f(y)=f(0)-y\). Dann hätten wir
\(|x-y|=|f(x)-f(y)|=|x+y|\), was nur möglich ist,
wenn \(x=0\) oder \(y=0\) ist, Widerspruch !
