Welchen Wert hat der oberste Stein einer 10-reihigen (additiven) Zahlenmauer, deren Basissteine alle den Wert 3 haben?

Question

Aufgabe:

a) Welchen Wert hat der oberste Stein einer 10-reihigen (additiven) Zahlenmauer, deren Basissteine alle den Wert 3 haben?

b) Wie viele dreireihige Zahlenmauern mit dem Deckstein 20 gibt es?

die Lösung lautet anscheinend hierzu 121, jedoch verstehe ich nicht wie man denn darauf kommt. bitte mit Erklärung

c) Erstellen Sie Aufgaben mit der Zahlenmauer, die sich nicht am operativen Prinzip orientieren. Beschreiben Sie, inwiefern auch diese Aufgaben sinnvoll eingesetzt werden können.

Comments

Das sind doch schöne Aufgaben. Warum schreibst du nicht, was du bisher überlegt hast?

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vgl:

https://www.mathelounge.de/932733/die-additive-zahlenmauer

Answer 1

Wie viele dreireihige Zahlenmauern

In der dritten Reihe stehen die drei unbekannten Zahlen a, b und c.

Darüber stehen dann a+b und b+c.

Ganz oben (erste Reihe) steht dann (a+b)+(b+c), also a+2b+c.

Finde alle Möglichkeiten für Tripel (a, b,c), bei denen a+2b+c=20 ist.

(Sind es 121 Möglichkeiten?)

Comments

wie kommt man denn dann auf 121? muss man die gleichung lösen

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wie kommt man denn dann auf 121? muss man die gleichung lösen

Man muss die ganzzahligen Lösungstripel zählen.

Wie viele Paare (a, c) gibt es für b=10?

Wie viele Paare (a, c) gibt es für b=9?

Wie viele Paare (a, c) gibt es für b=8?

...

Wie viele Paare (a, c) gibt es für b=0?

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es gibt viele Paare

soll man alles durchzählen

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es gibt viele Paare

soll man alles durchzählen

Warum denn nicht?

Für b=10 muss a+c=0 gelten.

Das einzige Paar ist (a,c)= (0,0).

Für b=9 muss a+c=2 gelten.
Das ergibt die 3 Paare (2,0), (1,1), (0,2).

Für b=8 muss a+c=4 gelten.
Das ergibt die 5 Paare (4,0), (3,1), (2,2), (1,3), (0,1).

War dir das zu viel Mühe, es wenigstens so weit zu probieren???

Jetzt ist der weitere Weg doch klar, ohne dass man noch alle weiteren Möglichlkeiten konkret aufschreiben muss.

Answer 2

Hallo,

es gibt viele Paare; soll man alles durchzählen

im Prinzip ja, aber es gibt ja sowas wie Summenformeln. Die 'Mauer' sieht doch so aus:$$\begin{array}{c} && a+2b+c=20\\ & a+b&& b+c \\ a &  & b && c\end{array}$$Für \(a\), \(b\) und \(c\) sind alle Zahlen aus \(\mathbb N_0\) zulässig. D.h. \(b\) kann man aus dem Intervall \([0\dots 10]\) wählen und für \(a\) bleibt dann noch das Intervall \([0\dots 20-2b]\) übrig, damit \(c\) immer \(\ge 0\) ist.

Zusammen gezählt gibt das \(n\) Möglichkeiten$$n = \sum\limits_{b=0}^{10}\sum\limits_{a=0}^{20-2b} 1\\ \phantom{n} = \sum\limits_{b=0}^{10} (20-2b+1) \\ \phantom{n} = \sum\limits_{b=0}^{10} 21-2\sum\limits_{b=0}^{10}b \\ \phantom{n} = 11\cdot 21-2\cdot\frac{10}{2}(10+1) \\ \phantom{n} = 121$$Wegen der vorletzen Zeile siehe Gaußsche Summenformel.

Alternative Lösung

Wenn man in einem Koordiantensystem die möglichen Paarungen von \(a\) (horizontal) und \(b\) (vertikal) einträgt, sind das alle Gitterpunkte in dem grünen Dreieck inklusive der Randpunkte (ich habe nicht alle eingezeichnet). Die Hypotenuse wird durch \(a+2b=20\) definiert. Die Fläche des Dreiecks ist \(A=100\). Die Anzahl \(R\) der Punkte auf dem Rand ist schnell erfasst \(R=40\). Und nach dem Satz von Pick ist die Anzahl \(I\) der innen liegenden Punkte$$I = A-\frac R2 +1 = 100 - \frac{40}2 + 1 = 81$$und die Anzahl der Punkte insgesamt ist demnach$$n=R+I= 40 + 81=121$$

Gruß Werner

Comments

Antwort um eine alternative Lösung erweitert.

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können Sie bitte erklären, wie Sie auf die Summenformel gekommen sind?

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können Sie bitte erklären, wie Sie auf die Summenformel gekommen sind?

Es ist ein Tripel \(a\), \(b\), \(c\) \(\in \mathbb N_0\) gesucht, mit der Bedingung $$a+2b+c = 20$$Demnach gibt es für \(b\) die 11 Möglichkeiten$$b \in \{0,\,1,\,2,\, \dots 9,\,10\}$$weil vor \(b\) der Faktor \(2\) steht. So weit klar - oder?

Und wenn man die Anzahl der Möglichkeiten zusammen zählt, so ist die Anzahl \(n\) $$n = \sum\limits_{b=0}^{10} m(b)$$D. h. für einen bestimmten Wert von \(b\) z.B. \(b=6\) gibt es noch eine bestimmte Anzahl \(m\) von Möglichkeiten, die aber vom Wert von \(b\) abhängt, daher \(m(b)\).

Betrachtet man nur den Fall \(b=6\), so stände dort$$a + 2\cdot 6 + c = 20 \implies a+c = 20-2\cdot 6=8$$Der Wert von \(a\) könnte 0 bis 8 annehmen und \(c\) hätte dann den Wert 8 bis 0. Also blieben 9 Möglichkeiten übrig. Man kann also \(a\) von 0 bis 8 laufen lassen und dann gibt es jeweils nur eine Wahl für \(c\) damit die Gleichung aufgeht.

Allgemein kann man also schreiben$$m(b) = \sum\limits_{a=0}^{20-2a}1 = 20-2b+1$$\(m(b)\) oben einsetzen gibt dann die Summenformel.

Answer 3

a)

Von unten nach oben, rechts die Zeilensummen:

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3  → 10•3

6 6 6 6 6 6 6 6 6 → 9•6=9•3•2

12 12 ... → 8•12=8•3•4

Also:

7•24=7•3•8=7•3•2^{10-7}

6•48=6•3•16=6•3•2^{10-6}

usw.

In Reihe n:

\(\begin{array}{|r|l|} \hline n & n\cdot3 \cdot2^{10-n} \\ \hline 1 & 1536 \\ \hline 2 & 1536 \\ \hline 3 & 1152 \\ \hline 4 & 768 \\ \hline 5 & 480 \\ \hline 6 & 288 \\ \hline 7 & 168 \\ \hline 8 & 96 \\ \hline 9 & 54 \\ \hline 10 & 30 \\ \hline \end{array}\)

Der oberste Stein hat den Wert 1536.

zu b)

Wenn nur positive ganze Zahlen und die Null zugelassen sind:

0 10 0 → 1

0 9 2

1 9 1

2 9 0 → 3

0 8 4

1 8 3

2 8 2

3 8 1

4 8 0 → 5

0 7 6

1 7 5

2 7 4

3 7 3

4 7 2

5 7 1

6 7 0--> 7

...

0 0 20

...

20 0 0 → 21

Also

1+3+5+...+21=(1+21)•11/2=11²=121

:-)