Matrizenmultiplikation von oberer Dreiecksmatrix (Beweis)

Question

Aufgabe:

Ich habe \(A=\left(a_{i j}\right)_{i, j=1, \ldots, n} \in M_{n \times n}(\mathbb{K})\), eine obere Dreiecksmatrix mit 0en auf der Hauptdiagonale, d. h. A ist von der Form

$$A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & * & \cdots & * \\ 0 & 0 & * & * \\ 0 & 0 & \ddots & * \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 \end{array}\right)$$

Problem/Ansatz:

Ich soll zeigen, dass \(A^{n}=0\).

Ich habe versucht normale Matrizenmultiplikation durchzuführen. Es kommt aber nicht das raus, was ich haben will. Wie kann ich das einigermaßen formal beweisen?

Viele Grǘße Simplex

Answer 1

Das charakteristische Polynom von \(A\) ist

\(P_A(X)=\det(XI_n-A)=X^n\); denn die Determinante einer

Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente.

Nach dem Satz von Cayley-Hamilton gilt dann \(A^n=0\).

Comments

Vielen Dank! Ich verstehe folgendes nicht:

Warum gehen wir über das charakteristische Polynom?

Außerdem hatten wir den Satz von Cayley Hamilton noch gar nicht in der VL. Kann man das auch anders beweisen?

Gruß Simplex

---

Warum gehen wir über das charakteristische Polynom?

Weil es das Bequemste und Kürzeste ist.

Wenn ihr den Satz von Cayley und Hamilton noch nicht kennt,

muss ich mir etwas anderes ausdenken ....

Ihr kennt aber das charakteristische Polynom, wisst was

Eigenwerte und Eigenvektoren sind ?

---

EW und EV sind bekannt.

---

Und das charakteristische Polynom dann natürlich auch.

---

Aber ihr wisst nicht, dass die Matrix "Nullstelle" ihres

charakteristischen Polynoms ist: \(\chi_A(A)=0\) ?

---

Wir haben notiert, dass die Nullstellen von \(\chi_\varphi / \chi_A\) genau die Eigenwerte von \(\varphi / A\) sind.

---

OK. Dann musst du wohl den mühseeligen Weg nehmen,

z.B. so.

Seien \(e_1,\cdots e_n\) die Einheitsvektoren des \(K^n\).

Dann ist \(Ae_1=0\) und \(Ae_i\in Ke_1+\cdots+Ke_{i-1}\)

für \(i\geq 2\) wegen der Dreiecksgestalt von \(A\).

Überlege dir, dass dann für \(k<i\) gilt

\(A^ke_i\in Ke_1+\cdots+Ke_{i-k}\).

Für \(k=i\) gilt \(A^ie_i=0\) und

daher auch \(A^ne_i=0\) ....

---

Die Schreibweise \(Ke_i\) kommt mir komisch vor. Was meinst du genau damit?

---

\(Ke_i=\{ce_i:\; c\in K\}\) ist eine gängige Schreibweise für

den eindimensionalen VR, der von \(e_i\) aufgespannt wird,

auch als \(span(e_i)\) bezeichnet.

---

Vielen Dank für deine Hilfe!