Konvergenz von Funktionenfolgen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die durch die folgenden Formeln definierten Funktionenfolgen punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergieren:

a) \( \quad f_{n}(x)=n^{2} x e^{-n x} \quad \) für \( x \in[0, \infty) \)

b) \( \quad f_{n}(x)=\frac{1-n^{2} x^{2}}{1+n^{2} x^{2}} \quad \) für \( x \in \mathbb{R} \)

c) \( \quad f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1 & \text { für } x \leq-\frac{1}{n} \\ n x & \text { für }-\frac{1}{n}<x \leq+\frac{1}{n} \\ 1 & \text { für }+\frac{1}{n}<x\end{array} \quad\right. \) für \( x \in \mathbb{R} \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Zu a)

Für jedes \(x\in [0,\infty)\) gilt \(\lim f_n(x)=0\), also punktweise Konvergenz

gegen die konstante Nullfunktion.

Es ist \(\sup_{x\in [0,1\infty)}| n^2xe^{-nx}-0|=|\frac{n}{e}|\rightarrow \infty\) für \(n\rightarrow \infty\),

also keine Konvergenz in der Supremumsnorm, d.h. keine gliechmäßige

Konvergenz.

Zu b)

Für \(x\neq 0\) gilt \(\lim f_n(x)=\lim\frac{\frac{1}{n^2}-x^2}{\frac{1}{n^2}+x^2}=\frac{-x^2}{x^2}=-1\)

und \(\lim f_n(0)=\lim 1 = 1\).

Die punktweise Grenzfunktion ist an der Stelle 0 nicht stetig,

daher ist die Funktionenfolge (stetiger Funktionen) nicht gleichmäßig

konvergent.

Nun du weiter mit c)