Vollständige Induktion und Darstellungsmatrix mit Endomorphismus

Question

Aufgaben:

Sei \(V\) ein \(n\)-dimensionaler \(\mathbb{K}\)-Vektorraum und \(\varphi: V \rightarrow V\) ein Endomorphismus mit \(\varphi^{q}=\mathbf{0}\) und \(\varphi^{q-1} \neq \mathbf{0}\) für ein \(q \in \mathbb{N}\).

(b) Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass wenn \(k_{0} \in \mathbb{N}_{0}\) ein Index mit \(V_{k_{0}}=V_{k_{0}+1}\) ist, so gilt \(V_{k_{0}}=V_{k_{0}+i}\) für alle \(i \in \mathbb{N}\). Schlussfolgern Sie, dass \(q \leqslant n\).

(c) Sei nun \(m_{k}:=\operatorname{dim} V_{k}, k \in \mathbb{N}_{0}\). Wir wählen ein \(n\)-Tupel \(\mathscr{B}=\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right)\) von Vektoren aus \(V\), sodass \(\left(b_{1}, \ldots, b_{m_{k}}\right)\) Basis von \(V_{k}\) für jedes \(k\) mit \(1 \leqslant k \leqslant q\) ist. Zeigen Sie, dass die Darstellungsmatrix \(A:= M_{\mathscr{B}}(\varphi)=M_{\mathscr{B}}^{\mathscr{B}}(\varphi)\) eine obere Dreiecksmatrix mit 0en auf der Hauptdiagonale ist.

Eigene Gedanken:

Zu (b)

Wie gehe ich an diesen Beweis heran? Was ist die I.V. und wie fange ich die Induktion an?

Zu (c)

Ich kenne es so, dass man die Basis in \(\varphi\) einsetzt und das Ergebnis wieder mit der Basis darstellt. Wie mache ich das jedoch hier?


Viele Grüße Simplex

Comments

Wie ist \(V_k\) definiert ?

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$$V_k:=\ker\varphi^k$$ für jedes \(k\in \mathbb{N}\)

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Hallo

ich habe mal Deine vorherige Frage beantwortet.

Dort hast Du ja schon nach b) gefragt - was also jetzt erledigt ist (hoffe ich)

Gruß Mathilf

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Vielen Dank! @Mathilf

Answer 1

Hallo,

die gesuchte Matrix in c) habe die Komponenten \(m_{i,j}\). Dann werden diese Komponenten, wie Du gesagt hast, durch folgende Gleichungen bestimmt

$$A b_i=\sum_{j=1}^nm_{j,i}b_j, \quad i=1, \ldots n$$

Für \(m_k <i \leq m_{k+1}\) gilt:

$$0=A^{k+1} b_i= \sum_{j=1}^nm_{j,i} A^k b_j = \sum_{j>m_k} m_{j,i} A^k b_j= =A^k \left[ \sum_{j>m_k} m_{j,i} b_j \right]$$

Dabei wird zunächst ausgenutzt, dass die Basiselemente \(b_j\) für \(j \leq m_k\) in \(V_k\) liegen. Weil der Vektor in den eckigen Klammern nur dann in \(V_k\) liegt, wenn er der Nullvektor ist, sind alle \(m_{j,i}=0\) für \(j>m_k\).

Gruß Mathhilf