Zeigen Sie, dass es R \in \operatorname{Aut}(V) gibt, sodass T=R^{-1} \circ S \circ R .

Question

3. Sei \( V \) ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem Körper \( K \) und seien \( \mathcal{B}, \mathcal{C} \) zwei geordnete Basen von \( V \). Seien weiter \( S, T \in \operatorname{End}(V) \) mit \( [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=[S]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}} \). Zeigen Sie, dass es \( R \in \operatorname{Aut}(V) \) gibt, sodass \( T=R^{-1} \circ S \circ R \). Hierbei bezeichnet \( \operatorname{Aut}(V) \) die Menge aller Automorphismen von \( V, \) also aller Endomorphismen von \( V \), die auch noch bijektiv sind.

Kann mir bei diesem Beweis jemand helfen?

Ich komme nicht mehr weiter. Dankbar um jede Hilfe.

Answer 1

Hallo,

ich bezeichne mal mit B die Koordinatenabbildung, die also jedem Koordinatenvektor sein Bild als Linearkombination mit Elementen aus \(\mathcal{B}=(b_1, \ldots, b_n)\) zuordnet, also

$$B:K^n \to V, \quad Bx:=\sum_{i=1}^n x_ib_i$$

Diese Abbildung ist wegen der Basis-Eigenschaften linear und bijektiv. Analog sei C definiert, dann haben wir:

$$B^{-1}TB=\left[T\right]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}=\left[S\right]^{\mathcal{C}}_{\mathcal{C}}=C^{-1}SC \Rightarrow T=BC^{-1}SCB^{-1}$$

Also ist der gesuchte Automorphismus \(R=CB^{-1}\) mit \(R^{-1}=BC^{-1}\).

Gruß