Zeigen Sie, dass es R \in \operatorname{Aut}(V) gibt, sodass T=R-1 \circ S \circ R .

Question

3. Sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$ und seien $\mathcal{B}, \mathcal{C}$ zwei geordnete Basen von $V$. Seien weiter $S, T \in \operatorname{End}(V)$ mit $[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}=[S]_{\mathcal{C}}^{\mathcal{C}}$. Zeigen Sie, dass es $R \in \operatorname{Aut}(V)$ gibt, sodass $T=R^{-1} \circ S \circ R$. Hierbei bezeichnet $\operatorname{Aut}(V)$ die Menge aller Automorphismen von $V,$ also aller Endomorphismen von $V$, die auch noch bijektiv sind.

Kann mir bei diesem Beweis jemand helfen?

Ich komme nicht mehr weiter. Dankbar um jede Hilfe.

Answer 1

Hallo,

ich bezeichne mal mit B die Koordinatenabbildung, die also jedem Koordinatenvektor sein Bild als Linearkombination mit Elementen aus $\mathcal{B}=(b_1, \ldots, b_n)$ zuordnet, also

$$B:K^n \to V, \quad Bx:=\sum_{i=1}^n x_ib_i$$

Diese Abbildung ist wegen der Basis-Eigenschaften linear und bijektiv. Analog sei C definiert, dann haben wir:

$$B^{-1}TB=\left[T\right]^{\mathcal{B}}_{\mathcal{B}}=\left[S\right]^{\mathcal{C}}_{\mathcal{C}}=C^{-1}SC \Rightarrow T=BC^{-1}SCB^{-1}$$

Also ist der gesuchte Automorphismus $R=CB^{-1}$ mit $R^{-1}=BC^{-1}$.

Gruß