Zeigen Sie, dass es ein Element x ∈ V gibt, sodass die Menge { x, ψ( x ), · · · , ψk ( x )} linear unabhängig ist.

Question

Aufgabe:

Es sei V ein K-Vektorraum und ψ : V → V eine lineare Abbildung und es gelte ψk ̸= 0
und ψk+1 = 0 für ein k > 0. Zeigen Sie, dass es ein Element x ∈ V gibt, sodass die
Menge { x, ψ( x ), · · · , ψk ( x )} linear unabhängig ist.

Answer 1

Sei \(\psi^k\neq 0\) und \(\psi^{k+1}=0\), dann gibt es insbesondere \(x\in V\)

mit \(\psi^k(x)\neq 0\) und es gilt \(x\neq 0,\psi(x)\neq 0,\cdots ,\psi^k(x)\neq 0\)

Sei nun \(\lambda_0x+\lambda_1\psi(x)+\cdots+\lambda_k\psi^k(x)=0\quad (*)\).

Angenommen, eines der \(\lambda_i\) in \((*)\) wäre \(\neq 0\), dann gäbe es

eine kleinste nat. Zahl \(r\) mit \(0\leq r\leq k\) und \(\lambda_r\neq0\).

Damit wäre \(0=\psi^{k-r}(0)=\psi^{k-r}(\lambda_r\psi^r(x)+\cdots+\lambda_k\psi^k(x))\).

Das ist aber \(=\lambda_r\psi^k(x)\). Damit folgt \(\lambda_r=0\) im Widerspruch

zur Voraussetzung,

q.e.d.