Zeigen Sie, dass es ein Element x ∈ V gibt, sodass die Menge { x, ψ( x ), · · · , ψk ( x )} linear unabhängig ist.

Question

Aufgabe:

Es sei V ein K-Vektorraum und ψ : V → V eine lineare Abbildung und es gelte ψk ̸= 0
und ψk+1 = 0 für ein k > 0. Zeigen Sie, dass es ein Element x ∈ V gibt, sodass die
Menge { x, ψ( x ), · · · , ψk ( x )} linear unabhängig ist.

Answer 1

Sei $\psi^k\neq 0$ und $\psi^{k+1}=0$, dann gibt es insbesondere $x\in V$

mit $\psi^k(x)\neq 0$ und es gilt $x\neq 0,\psi(x)\neq 0,\cdots ,\psi^k(x)\neq 0$

Sei nun $\lambda_0x+\lambda_1\psi(x)+\cdots+\lambda_k\psi^k(x)=0\quad (*)$.

Angenommen, eines der $\lambda_i$ in $(*)$ wäre $\neq 0$, dann gäbe es

eine kleinste nat. Zahl $r$ mit $0\leq r\leq k$ und $\lambda_r\neq0$.

Damit wäre $0=\psi^{k-r}(0)=\psi^{k-r}(\lambda_r\psi^r(x)+\cdots+\lambda_k\psi^k(x))$.

Das ist aber $=\lambda_r\psi^k(x)$. Damit folgt $\lambda_r=0$ im Widerspruch

zur Voraussetzung,

q.e.d.