Hallo,
ich fasse auch nochmal zusammen, was Du schon überlegt hast (ich benutze f statt \(\phi\))
1. \(V_k \sube V_{k+1}\):
$$x \in V_k, f^k x=0 \text{ Dann: }f^{k+1}x=f(f^kx)=f(0)=0 \Rightarrow x \in V_{k+1}$$
2. \(f(V_{k+1}) \sube V_k\):
$$y=fx, x \in V_{k+1}: \quad f^ky=f^{k+1}x=0 \Rightarrow y \in V_k$$
Der Fall k=0 kann separat behandelt werden oder formal hier eingeordnet werden.
3.\(V_k=V_{k+1} \Rightarrow V_{k+1}=V_{k+2}\):
Wegen 1. braucht nur gezeigt werden: \(V_{k+2} \sube V_{k+1}\):
$$x \in V_{k+2}, f^{k+2}=0: fx \in V_{k+1}=V_k \Rightarrow f^k(fx)=0, \text{ also }x \in V_{k+1}$$
Damit folgt dann induktiv: Wenn \(V_k=V_{k+1}\), dann
$$V_k=V_{k+1}=V_{k+2}=V_{k+3}\ldots$$
4. \( q \leq n\):
Wir haben folgende Situation:
$$V_0 \sube V_1 \sube V_2 \sube \cdots \sube V_{q-1} \sub V_q=V$$
Wenn eine der Teilmengen-Beziehungen eine Gleichheit wäre, dann wären von da an alles Gleichungen, aber die letzte Beziehung ist nach Voraussetzung echt. Also sind alle Teilmengen-Beziehungen echt und in jedem Schritt wächst die Dimension der Unterräume um mindestens 1, also ist \(q \leq \dim(V)=n\)
Gruß Mathhilf