Beweise mit Endomorphismus und vollständige Induktion mit Kernen

Question

Aufgaben:

Sei \(V\) ein \(n\)-dimensionaler \(\mathbb{K}\)-Vektorraum und \(\varphi: V \rightarrow V\) ein Endomorphismus mit \(\varphi^{q}=\mathbf{0}\) und \(\varphi^{q-1} \neq \mathbf{0}\) für ein \(q \in \mathbb{N}\).

(a) Wir definieren \(V_{0}=\{0\}\) und \(V_{k}:=\operatorname{ker} \varphi^{k}\) für jedes \(k \in \mathbb{N}\). Zeigen Sie, dass
$$ V_{k} \subseteq V_{k+1} $$
und
$$ \varphi\left(V_{k+1}\right) \subseteq V_{k} $$
für alle \(k \in \mathbb{N}_{0}\) gilt.

(b) Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass wenn \(k_{0} \in \mathbb{N}_{0}\) ein Index mit \(V_{k_{0}}=V_{k_{0}+1}\) ist, so gilt \(V_{k_{0}}=V_{k_{0}+i}\) für alle \(i \in \mathbb{N}\). Schlussfolgern Sie, dass \(q \leqslant n\).

Eigene Gedanken:

Zu (a)

ZZ.:

$$ V_{k} \subseteq V_{k+1}\Leftrightarrow \ker(\varphi^k) \subseteq \ker(\varphi^{k+1}) $$

ZZ.:

$$x\in\ker(\varphi^k) \implies x\in\ker(\varphi^{k+1})$$

Es gilt

$$\varphi^{k+1}(x)=\varphi^k(\varphi(x))=\varphi^k(x)\implies x\in\ker(\varphi^{k+1})$$

ZZ.:

$$\varphi(V_{k+1})\subseteq V_k$$

Sei \(x\in\ker(\varphi^{k+1})\). Dann gilt

$$\varphi^k(\varphi(x))=\varphi^{k+1}(x)=0\implies\varphi(x)\in\ker(\varphi^k)$$

Kann man das so machen? Oder gibt es da noch Ungereimtheiten?

Zu (b)

Hier habe ich Probleme. Ich weiß im Grunde wie vollständige Induktion funktioniert. Bei der Aufgabe bin ich mir aber nicht sicher was die Induktionsvoraussetzung und was die Induktionsannahme ist.

Answer 1

Hallo,

ich fasse auch nochmal zusammen, was Du schon überlegt hast (ich benutze f statt \(\phi\))

1. \(V_k \sube V_{k+1}\):

$$x \in V_k, f^k x=0  \text{ Dann: }f^{k+1}x=f(f^kx)=f(0)=0 \Rightarrow x \in V_{k+1}$$

2. \(f(V_{k+1}) \sube V_k\):

$$y=fx, x \in V_{k+1}: \quad f^ky=f^{k+1}x=0 \Rightarrow y \in V_k$$

Der Fall k=0 kann separat behandelt werden oder formal hier eingeordnet werden.

3.\(V_k=V_{k+1} \Rightarrow V_{k+1}=V_{k+2}\):

Wegen 1. braucht nur gezeigt werden: \(V_{k+2} \sube V_{k+1}\):

$$x \in V_{k+2}, f^{k+2}=0: fx \in V_{k+1}=V_k \Rightarrow f^k(fx)=0, \text{  also }x \in V_{k+1}$$

Damit folgt dann induktiv: Wenn \(V_k=V_{k+1}\), dann

$$V_k=V_{k+1}=V_{k+2}=V_{k+3}\ldots$$

4. \( q \leq n\):

Wir haben folgende Situation:

$$V_0 \sube V_1 \sube V_2 \sube \cdots \sube V_{q-1} \sub V_q=V$$

Wenn eine der Teilmengen-Beziehungen eine Gleichheit wäre, dann wären von da an alles Gleichungen, aber die letzte Beziehung ist nach Voraussetzung echt. Also sind alle Teilmengen-Beziehungen echt und in jedem Schritt wächst die Dimension der Unterräume um mindestens 1, also ist \(q \leq \dim(V)=n\)

Gruß Mathhilf

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