Äquivalenz von Aussagen beweisen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallo!

Kann jemand bitte kurz einen Blick drauf werfen und sagen, ob dies so stimmt? :-)

Hier ist also zu zeigen, dass man aus der Aussage a.)  dann die Aussage b.) folgern kann und umgekehrt.


a.)  ⇒ b.)

Sei v ∈ V und sei y, y'  ∈ M und z, z'  ∈ N
Es gibt zwei Darstellungen von v:  

v = y + z = y' + z'

y + z = y' + z'  ⇔ y - y' = z' - z = 0

Hier gilt die Gleichheit d.h. beide Elemente, also y - y' ∈ M und z' - z ∈ N sind gleich. Wenn dies so ist, dann sind diese auch im Schnitt enthalten, M ∩ N. Nach Voraussetzung der direkten Summe, ist im Schnitt der Nullvektor enthalten, daraus folgt:

y = y'  ∧   z' = z

Somit ist im Schnitt tatsächlich der Nullvektor enthalten.


b.)  ⇒ a.)

Sei x ∈ M + N.
z.Z. x lässt sich auf eindeutige Weise als Summe von M und N schreiben.

Seien y, y'  ∈ M und z, z'  ∈ N mit y + z = x = y' + z'.
Es gibt hier zwei Darstellungen von x, nun ist zu zeigen: y = y' und z = z'.

Es gilt y - y'  = z' - z. Dieses Element liegt in M und in N. Also liegt es auch im Schnitt M ∩ N. Nach Voraussetzung ist M ∩ N = {0}. Daraus folgt also: 0 = y - y'  =  z' - z, somit ist y = y'  und z = z'.

Answer 1

a.)  ⇒ b.)

Es gibt zwei Darstellungen von v:

v = y + z = y' + z'

Das klingt wie eine Schlussfolgerung, soll aber wohl keine sein.

Besser: Sei v ∈ V und seien y, y' ∈ M, z, z' ∈ N mit v = y + z = y' + z' .

Nach Voraussetzung der direkten Summe, ist im Schnitt der Nullvektor enthalten

Ausschlaggebend für die Schlussfolgerung y = y'  ∧  z' = z ist, dass im Schnitt kein anderer Vektor enthalten ist.

Somit ist im Schnitt tatsächlich der Nullvektor enthalten.

Dass im Schnitt der Nullvektor enthalten ist, ergibt sich unmittelbar daraus, dass \(M\) und \(N\) Teilräume sind und somit den Nullvektor enthalten.

b.)  ⇒ a.)Sei x ∈ M + N.z.Z. x lässt sich auf eindeutige Weise als Summe von M und N schreiben.

Nein, das war a.)  ⇒ b.).

Zu zeigen ist M ∩ N = {0},

Comments

Dann werde ich das dann bei a.)  ⇒ b.) noch ausbessern, vielen Dank! :-)

Und bezüglich  b.)  ⇒ a.) habe ich mir folgendes überlegt:

Sei x ∈ M ∩ N und seien y ∈ M und z ∈ N mit y + z = 0
z.Z. M ∩ N = {0}

Da y + z = 0 gilt also folgendes:

⇒ y  = -z
⇒ y = 0
⇒ z = 0

Die Koordinatendarstellung von x ist sowohl y als auch z, da die Koordinatendarstellung (bzgl. der Standardbasis) eindeutig ist, daher folgt, dass y = z, sofort y = z = 0.  Somit muss der Schnitt M ∩ N gleich 0 sein.