Aufgabe:
Problem/Ansatz: Hat jemand eine Idee wie ich die Äquivalenz am besten zeige ? Vielen Dank im Voraus.
Text erkannt:
Sei \( V \) ein \( K \)-Vektorraum und seien \( W_{1}, W_{2} \subset V \) Untervektorräume. Wir schreiben \( V=W_{1} \oplus W_{2} \), falls \( V=W_{1}+W_{2} \) und \( W_{1} \cap W_{2}=\{0\} \) gilt. In diesem Fall nennen wir \( V \) die direkte Summe der Unterräume \( W_{1} \) und \( W_{2} \). Zeigen Sie, dass folgende Bedingungen äquivalent sind:
(i) \( V=W_{1} \oplus W_{2} \).
(ii) Jedes \( v \in V \) ist eindeutig darstellbar als \( v=w_{1}+w_{2} \) mit \( w_{1} \in W_{1}, w_{2} \in W_{2} \).
