Äquivalenz von Bedingungen beweisen

Question

Aufgabe:

Zeigen SIe, dass folgende Definitionen der Konvergenz einer FOlge äquivalent zueinander sind. Sei (a_n) n in N eine FOlge reeller Zahlen und a ∈ℝ. Die Folge konvergiert gegen a, falls gilt:

1) zu jedem ε > 0 existiert eine natürliche Zahl n_o so dass für alle nachfolgenden Indizes n ≥n_o gilt: | a_n < a  | < ε

2) Zu jedem k ∈ℕ existiert eine natürliche Zahl n_o , so dass für alle nachfolgenden Indizes n ≥n_o gilt: | a_n - a | < (1/k)

Answer 1

Aufgabenteil 1) sollte auch | a_n - a |< ε sein?

Falls 1) gilt dann

∀k ∈ ℕ  ∃ ε > 0 mit n_0 ∈ ℕ, derart dass ε < (1/k) und | a_n - a |< ε

daraus folgt

| a_n - a |< ε < (1/k)

somit gilt auch 2)

Falls 2) gilt dann

∀ε > 0  ∃ k ∈ ℕ mit n_0 ∈ ℕ, derart dass (1/k) < ε und | a_n - a |< (1/k)

daraus folgt

| a_n - a |< (1/k) < ε

somit gilt auch 1).

Gruß

Comments

vielen lieben Dank für die Hilfe. Das hat mir geholfen.