Bilden nilpotente Endomorphismen eines Vektorraumen wiederum einen Vektorraum?

Question

ich komme hier bei einer Aufgabe nicht weiter. Nämlich muss ich zeigen, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist.

Die nilpotenten Endomorphismen eines Vektorraums bilden einen Vektorraum.

Ich vermute, dass diese Aussage falsch ist, finde aber kein Gegenbeispiel.

Kann mir jemand helfen bzw. zumindest einen Tipp geben, wie ich auf ein Gegenbeispiel komme?

LG, p0nyo

Answer 1

Hier ein Gegenbeispiel:

Bzgl.einer Basis seien die darstellenden Matrizen$$A=M(\varphi)=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right),\quad B=M(\psi)=\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right)$$

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Danke für das Gegenbeispiel!

Answer 2

Sei \(\varphi^m = 0\) und \(\psi^n = 0\). Untersuche \((\varphi+\psi)^{m+n}\).

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Danke für den Hinweis!