Hallo,
das Integralvergleichskriterium kann auch zur Abschätzung von endlichen Summen verwendet werden. Ich schreibe es mal konkret für dieses Beispiel auf: Es gilt für \(k\geq 2\):
$$\frac{1}{(k+1)\ln(k+1)} \leq \int_k^{k+1} \frac{1}{x \ln(x)} \;dx=\ln(\ln(k+1))-\ln(\ln(k)) \leq \frac{1}{k\ln(k)}$$
Daraus folgt:
$$\sum_{k=2}^n \frac{1}{k\ln(k)}=\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(k+1)\ln(k+1)}$$
$$ \leq\frac{1}{2 \ln(2)}+\int_2^{n}\frac{1}{x \ln(x)} \;dx\leq\frac{1}{2 \ln(2)}+\ln(\ln(n))-\ln(\ln(2))$$
Und
$$\sum_{k=2}^n \frac{1}{k\ln(k)} \geq \int_2^{n+1}\frac{1}{x \ln(x)} \;dx=\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln(2))$$
Insgesamt folgt, dass die Folge
$$a_n:=\left(\sum_{k=2}^n \frac{1}{k\ln(k)}\right)-\ln(\ln(n))$$
monoton wachsen und beschränkt ist, also konvergent, und es gilt die Abschätzung
$$\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln(2))-\ln(\ln(n)) \leq a_n \leq \frac{1}{2 \ln(2)}-\ln(\ln(2))$$
Gruß Mathhilf
