Aus einer assoziativen Verknüpfung folgt das Inverse

Question

ich bitte Euch um Hilfe.

Wir betrachten ein festes \(a \in G\) und folgende Abbildungen

\(T_a: G \rightarrow G, x \mapsto x \cdot a\) und

\(_a T: G \rightarrow G, x \mapsto a \cdot x\).

Ist \(G\) eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, so folgt das Axiom mit dem inversen Element von \(a\) (d.h. zu jedem \(a \in G\) gibt es ein \(a' \in G\) mit \(a' * a = e\)) aus der Surjektivität der Abbildungen \(T_a\) und \( _a T\) für alle \(a \in G\).

Ich verstehe leider den Beweis nicht. Die Surjektivität der beiden Funktionen ist offensichtlich. Seien die Gleichungen \(x \cdot a = b\) und \(a \cdot y =b \) für beliebige \(a,b \in G\) lösbar. Dann gibt es zu \(a\) ein \(e\) mit \(e \cdot a = a\) {Das verstehe ich gar nicht, warum gibt es so ein \(e\)? Ich weiss doch nicht, dass es eine Gruppe ist, deshalb weiss ich nichts von einem neutralen element}. Ist \(b \in G\) beliebig, so ist \(e \cdot b = e \cdot (a \cdot y) = (e \cdot a) \cdot y = a \cdot y = b\) {Das verstehe ich, wenn ich wüsste, dass ich \(e \cdot a = a\) benutzen darf}. Durch Lösen der Gleichung \(x \cdot a = e\) erhält man das inverse Element von \(a\) {Der letzte Satz ist mir auch nicht ganz klar}.

Comments

Ich wuerde zunaechst zeigen, dass _aT  ( bzw. T_a )zusaetlich injektiv ist, dann ist _aT  ( bzw. T_a  ) bijektiv und es gibt zu jedem Element aus G eine inverse. Also muss G das neutrale Element enthalten.

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\( _aT \) und \( T_a \) sind nicht in jedem Fall injektiv, zum Beispiel bei \( \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \) mit einer Nichtprimzahl \( n \), hat der Kern der Abbildung \( _aT = T_a \) mehrere Elemente. Konkretes Zahlenbeispiel:

In \( \mathbb{Z}/15\mathbb{Z} \) ist \( T_3 (5) = T_3(10) = 0 \).

Oder in \( \mathbb{Z}/15\mathbb{Z} \) und \( T_5 (3) = T_5(6) = T_5(9) = \dots = 0 \).

MfG

Mister

PS: Allerdings sind die Abbildungen dieses Gegenbeispieles auch nicht surjektiv. Insofern hast du Recht: Sind sie surjektiv, folgt gewissermaßen die Injektivität aus der Gruppenstruktur von G. Kann man die Injektivität von \( _aT \) oder \( T_a \) direkt zeigen, impliziert dies dann natürlich die Invertierbarkeit aller Elemente von G. Dies wäre ein alternativer Beweis.

Answer 1

die Surjektivität ist nicht offensichtlich, beispielsweise für G = ℤ/nℤ mit einer Nichtprimzahl n oder für G = ℤ sind die Abbildungen \( T_a \) und \( _a T \) nicht für alle a surjektiv.

Im ersten Gegenbeispiel sind die Abbildungen für Teiler von n nicht surjektiv. Im zweiten Beispiel sind die Abbildungen für alle a nicht surjektiv.

Sind die Abbildungen nun surjektiv, so existiert für alle \( b \in G \) ein \( x \in G \), sodass \( b = xa \), bzw. \( b =  ax \). Insbesondere für die Wahl \( b = e \), also als neutrales Element, existiert dann für \( a \in G \) ein \( x \equiv a^{-1} \in G \), sodass \( e = a^{-1} a \), bzw. \( e = a a^{-1} \).

Sind die Abbildungen \( T_a \) und \( _a T \) also für alle \( a \in G \) surjektiv, so sind alle \( a \in G \) invertierbar.

Die Existenz eines neutralen Elementes folgt daraus, dass für die Wahl \( b = a \), die Gleichung \( a = a x \), bzw. \( a = x a \), lösbar ist, sofern \( T_a \), bzw. \( _a T \), surjektiv sind für alle \( a \in G\). Damit existiert mit \( x \) ein neutrales Element in \( G \).

MfG

Mister

PS: Dein berechtigter Einwand liegt in der Existenz des neutralen Elementes in \( G \), sprich dass diese bewiesen werden muss.

PPS: Für kommutative Verknüpfungen ist \( T_a =\ _aT \).