Aus einer assoziativen Verknüpfung folgt das Inverse

Question

ich bitte Euch um Hilfe.

Wir betrachten ein festes $a \in G$ und folgende Abbildungen

$T_a: G \rightarrow G, x \mapsto x \cdot a$ und

$_a T: G \rightarrow G, x \mapsto a \cdot x$.

Ist $G$ eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung, so folgt das Axiom mit dem inversen Element von $a$ (d.h. zu jedem $a \in G$ gibt es ein $a' \in G$ mit $a' * a = e$) aus der Surjektivität der Abbildungen $T_a$ und $_a T$ für alle $a \in G$.

Ich verstehe leider den Beweis nicht. Die Surjektivität der beiden Funktionen ist offensichtlich. Seien die Gleichungen $x \cdot a = b$ und $a \cdot y =b$ für beliebige $a,b \in G$ lösbar. Dann gibt es zu $a$ ein $e$ mit $e \cdot a = a$ {Das verstehe ich gar nicht, warum gibt es so ein $e$? Ich weiss doch nicht, dass es eine Gruppe ist, deshalb weiss ich nichts von einem neutralen element}. Ist $b \in G$ beliebig, so ist $e \cdot b = e \cdot (a \cdot y) = (e \cdot a) \cdot y = a \cdot y = b$ {Das verstehe ich, wenn ich wüsste, dass ich $e \cdot a = a$ benutzen darf}. Durch Lösen der Gleichung $x \cdot a = e$ erhält man das inverse Element von $a$ {Der letzte Satz ist mir auch nicht ganz klar}.

Comments

Ich wuerde zunaechst zeigen, dass _aT  ( bzw. T_a )zusaetlich injektiv ist, dann ist _aT  ( bzw. T_a  ) bijektiv und es gibt zu jedem Element aus G eine inverse. Also muss G das neutrale Element enthalten.

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$_aT$ und $T_a$ sind nicht in jedem Fall injektiv, zum Beispiel bei $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ mit einer Nichtprimzahl $n$, hat der Kern der Abbildung $_aT = T_a$ mehrere Elemente. Konkretes Zahlenbeispiel:

In $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ ist $T_3 (5) = T_3(10) = 0$.

Oder in $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ und $T_5 (3) = T_5(6) = T_5(9) = \dots = 0$.

MfG

Mister

PS: Allerdings sind die Abbildungen dieses Gegenbeispieles auch nicht surjektiv. Insofern hast du Recht: Sind sie surjektiv, folgt gewissermaßen die Injektivität aus der Gruppenstruktur von G. Kann man die Injektivität von $_aT$ oder $T_a$ direkt zeigen, impliziert dies dann natürlich die Invertierbarkeit aller Elemente von G. Dies wäre ein alternativer Beweis.

Answer 1

die Surjektivität ist nicht offensichtlich, beispielsweise für G = ℤ/nℤ mit einer Nichtprimzahl n oder für G = ℤ sind die Abbildungen $T_a$ und $_a T$ nicht für alle a surjektiv.

Im ersten Gegenbeispiel sind die Abbildungen für Teiler von n nicht surjektiv. Im zweiten Beispiel sind die Abbildungen für alle a nicht surjektiv.

Sind die Abbildungen nun surjektiv, so existiert für alle $b \in G$ ein $x \in G$, sodass $b = xa$, bzw. $b = ax$. Insbesondere für die Wahl $b = e$, also als neutrales Element, existiert dann für $a \in G$ ein $x \equiv a^{-1} \in G$, sodass $e = a^{-1} a$, bzw. $e = a a^{-1}$.

Sind die Abbildungen $T_a$ und $_a T$ also für alle $a \in G$ surjektiv, so sind alle $a \in G$ invertierbar.

Die Existenz eines neutralen Elementes folgt daraus, dass für die Wahl $b = a$, die Gleichung $a = a x$, bzw. $a = x a$, lösbar ist, sofern $T_a$, bzw. $_a T$, surjektiv sind für alle $a \in G$. Damit existiert mit $x$ ein neutrales Element in $G$.

MfG

Mister

PS: Dein berechtigter Einwand liegt in der Existenz des neutralen Elementes in $G$, sprich dass diese bewiesen werden muss.

PPS: Für kommutative Verknüpfungen ist $T_a =\ _aT$.