Question

Für welche a ∈ ℝ existiert das uneigentliche Integral

$\int\limits_{0}^{\infty}$ $e^{ax} sin x$ $dx$

Comments

Kannst Du eine Stammfunktion für den Integranden bestimmen? Wenn ja, wie sieht sie aus?

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Ja, die ist glaube ich:

$\frac{e^{ax}*a*sin(x)-e^{ax}*cos(x)}{1-a^{2}}$

Answer 1

Hallo,

zunächst: In der Stammfunktion muss es im Nenner 1+a² heißen.

Zur Lösung: Es ist definiert:
$$\int_0^{\infty}\exp(ax)\sin(x)dx = \lim_{y \to \infty} \int_0^{y}\exp(ax)\sin(x)dx$$

sofern dieser Grenzwert existiert. Sonst ist das uneigentliche Integral divergent. Mit der angegebenen Stammfunktion:

$$\int_0^{y}\exp(ax)\sin(x)dx=\frac{1}{1+a^2}\left[ \exp(ay)(a\sin(y)-\cos(y))+1\right] \to\frac{1}{1+a^2}$$

Diese Konvergenz tritt ein für a<0. Ansonsten ist das Integral divergent.

Gruß Mathhilf