Richtungsvektor und Schatten

Question

Aufgabe:

Sei $\vec{u}$ = (−4,4,−1) (Richtungsvektor). Berechne, welcher Punkt auf der Strecke zwischen B(6/6/2) und F(6/6/5) seinen Schatten auf (0/12/1,5) wirft.

Problem/Ansatz:

Ich hätte jetzt versucht, zwei Geradengleichungen aufzustellen und diese später gleichzusetzen. Allerdings bekomme ich hier kein Ergebnis heraus.

Vielen Dank.

Answer 1

Aloha :)

Deine Idee ist gut. Die eine Gerade verläuft durch die Punkte $B(6|6|2)$ und $F(6|6|5)$:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}6-6\\6-6\\5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}$$

Die andere Gerade geht vom Schattenpunkt $(0|12|1,5)$ aus und als Richtungsvektor wählen wir die Gegenrichtung zu $\vec u=(-4|4|-1)$, damit der Paramter $\mu$ positiv ist.$$h\colon\vec x=\begin{pmatrix}0\\12\\1,5\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\-4\\1\end{pmatrix}$$

Den gesuchten Punkt $P$ finden wir durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:$$\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\12\\1,5\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\-4\\1\end{pmatrix}$$Die Gleichung für die erste Koordinante liefert uns $\mu$:$$6+\lambda\cdot0=0+\mu\cdot4\implies6=4\mu\implies\mu=1,5$$Die Gleichung für die dritte Koordinate liefert uns $\lambda$:$$2+\lambda\cdot3=1,5+\mu\cdot1=1,5+1,5=3\implies 3\lambda=1\implies\lambda=\frac13$$

Weil $\lambda$ zwischen $0$ und $1$ liegt, liegt der berechnete Punkt $P$ tatsächlich auf der Strecke zwischen $B$ und $F$:$$\vec p=\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}+\frac13\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\6\\3\end{pmatrix}\quad\implies\quad P(6|6|3)$$

Comments

Vielen lieben Dank!