Aloha :)
Deine Idee ist gut. Die eine Gerade verläuft durch die Punkte \(B(6|6|2)\) und \(F(6|6|5)\):$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}6-6\\6-6\\5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}$$
Die andere Gerade geht vom Schattenpunkt \((0|12|1,5)\) aus und als Richtungsvektor wählen wir die Gegenrichtung zu \(\vec u=(-4|4|-1)\), damit der Paramter \(\mu\) positiv ist.$$h\colon\vec x=\begin{pmatrix}0\\12\\1,5\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\-4\\1\end{pmatrix}$$
Den gesuchten Punkt \(P\) finden wir durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:$$\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\12\\1,5\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}4\\-4\\1\end{pmatrix}$$Die Gleichung für die erste Koordinante liefert uns \(\mu\):$$6+\lambda\cdot0=0+\mu\cdot4\implies6=4\mu\implies\mu=1,5$$Die Gleichung für die dritte Koordinate liefert uns \(\lambda\):$$2+\lambda\cdot3=1,5+\mu\cdot1=1,5+1,5=3\implies 3\lambda=1\implies\lambda=\frac13$$
Weil \(\lambda\) zwischen \(0\) und \(1\) liegt, liegt der berechnete Punkt \(P\) tatsächlich auf der Strecke zwischen \(B\) und \(F\):$$\vec p=\begin{pmatrix}6\\6\\2\end{pmatrix}+\frac13\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\6\\3\end{pmatrix}\quad\implies\quad P(6|6|3)$$
