Meine Frage: Welche Varianz brauche ich wann?

Question

Aufgabe: Unterschied empirische Varianz und Varianz.

In der Formelsammlung steht unter empirische Varianz: s^2= (x1- arithmetisches Mittel) + (x2 - arithmetisches Mittel) + .... und das alles geteilt durch n-1

Bei Varianz steht dieselbe Formel, jedoch alles wird geteilt durch N (ohne das -1)

Meine Frage: Welche Varianz brauche ich wann?

Danke

Answer 1

Aloha :)

Die Varianz ist definiert als:$$V(X)=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=1}^N\left(x_i-\mu_x\right)^2$$Darin ist \(\mu_x\) der exakte Erwartungswert der Zufallsvariablen \(X\). Der ist aber oft nicht bekannt, etwa wenn man nur eine Stichprobe betrachtet. In diesen Fällen kann der Erwartungswert durch den Mittelwert genähert werden: \(\mu_x\approx\overline x\). Der Mittelwert \(\overline x\) enthält dann aber eine Abweichung bzw. Ungenauigkeit gegenüber dem exakten Erwartungswert \(\mu_x\). Diese Ungenauigkeit pflanzt sich in die Varianzformel fort und führt zu einer Erhöhung der Varianz:$$V(X)=\frac{1}{N-1}\sum\limits_{i=1}^N\left(x_i-\overline x\right)^2$$Beachte, dass darin der Erwartungswert \(\mu_x\) durch den Mittelwert \(\overline x\) als Näherung ersetzt wurde. Dafür wird als Korrektur nicht durch \(N\), sondern durch \((N-1)\) dividiert.

Answer 2

Man nennt das Bessel-Korrektur (-> Google)

s. z.B.

https://de.acervolima.com/bessels-korrektur/

Answer 3

$$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2  $$ ist kein Erwartungstreuer Schätzer der Varianz. $$ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2  $$ aber schon.