Aloha :)
Die Fläche \(F\) ist die \(xy\)-Ebene. Wir beschreiben sie mit Hilfe von Polarkoordinaten:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;R]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$
Das Flächenelement \(d\vec S\) ist dann:$$d\vec S=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial r}\,dr\right)\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial \varphi}\,d\varphi\right)=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\0\end{pmatrix}dr\,d\varphi=\begin{pmatrix}0\\0\\r\end{pmatrix}dr\,d\varphi$$
Mit \(\vec B=B_0\,\vec e_z\) lautet das gesuchte Flächenintegral:$$\int\limits_F\vec B\,d\vec S=\int\limits_{r=0}^R\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\begin{pmatrix}0\\0\\B_0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\r\end{pmatrix}dr\,d\varphi=\int\limits_{r=0}^RB_0r\,dr\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi=B_0\frac{R^2}{2}\cdot2\pi=\pi R^2\,B_0$$
Wegen des Satzes von Stokes \((d\vec r=d\vec S\times\vec\nabla)\) gilt auf dem Weg um den geschlossenen Rand der gerade betrachtete Kreisscheibe:$$\pi R^2\,B_0=\int\limits_F\vec B\,d\vec S=\int\limits_F(\vec\nabla\times A)\,d\vec S=\int\limits_F(d\vec S\times\vec\nabla)\vec A=\oint\limits_{\partial F}d\vec r\,\vec A=\oint\limits_{\partial F}\vec A\,d\vec r$$Das geschlossene Wegintegral ist offensichtlich \(\pi R^2\,B_0\), verschwindet also nicht.
