Zeigen, dass nachfolgende Funktionen in metrischen Räumen stetig sind

Question

Aufgabe:

Seien (X,d) ein metrischer Raum und f,g :X→R stetige Funktionen. Zeigen Sie:

a) Die Funktion h : X→R, h(x):= max {f(x), g(x) } ist stetig

b) Die Funktion F : X→R, F(x) := If(x)I ist stetig.

Problem/Ansatz:

Mir fällt hier eigentlich nur das epsilon Delta Kriterium ein. Mir ist aber nicht klar, wie ich es hier anwenden kann. Bei b) handelt es sich wohl um eine Stammfunktion. Mir ist hier nicht klar, wie ich die metrischen Räume hier berücksichtigen muss

Answer 1

f(x)<=f(a)+ε und g(x)<=g(a)+ε folgt max(f(x),g(x))=max(f(a),g(a))+ε

f(x)>=f(a)-ε und g(x)>=g(a)-ε folgt max(f(x),g(x))=max(f(a),g(a))-ε

damit die Stetigkeit bei a

für b dann einfach a verwenden mit g(x)=-f(x)

Gruß lul

Comments

Danke für die Antwort. Da ich bei metrischen Räumen und Stetigkeit von Funktionen in metrischen Räumen leider im Moment trotz vorliegenden Definitionen noch Ladehemmung bei der Anwendung habe, eine Frage zur Definition dieser Funktion nochmal. Sie ist ja wie folgt definiert h:= max{ f(x),g(x) } ist stetig. Also muss ich zeigen, dass sie so wie sie definiert ist, stetig sein muss. Wegen meiner Ladehemmung, wie beschreibe ich diese so definierte Funktion mit anderen Worten. Und noch was, wie würde ein Widerspruchsbeweis aussehen, falls das nicht zu kompliziert ist.