Zeigen Sie: Ist f: X → R stetig, so ist auch f|A stetig.

Question

Aufgabe:Für vorgegebene Mengen A,B,C mit A  ⊆ B und eine Funktion f : B → C bezeichnet man als f |A die Restriktion

f |A die Restriktion f|A : A→C, f|A(x) :=f(x) für alle x e A.

Sei (X,d) ein metrischer Raum.

a) Sei A ⊆ X. Zeigen Sie: Ist f: X → R stetig, so ist auch f|A stetig.

b) Seien A, B, ⊆ X abgeschlossen und f : (A∪B) → R. Zeigen Sie: Sind f|A und f|B stetig, so ist auch f stetig.

c) Beweisen Sie: Die Voraussetzung, dass B abgeschlossen ist, ist notwendig in Teil (b). Anders gesagt: Finden Sie ein Beispiel eines metrischen Raumes X, einer abgeschlossenen Teilmenge A, einer nicht abgeschlossenen Teimenge B, und einer Funktion f : (A∪B) → R, sodass f|A und f|B stetig seien, f aber nicht.

roblem/Ansatz:Ich habe mit metrischen Räumen einfach noch zu wenig Übung. Ich benötige leider auch hier noch den einen oder anderen Tipp um einen Anfang zu finden.

Comments

Ist A vereinigt B ganz X?

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Weißt Du denn, was für die Aussage, dass \(f|_A\) stetig ist, zu zeigen ist?

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Ich weiß, daß es sich dabei um eine Einschränkung des Definitionsbereich handelt. Ich könnte mir also vorstellen, daß ich hier die Dreiecksungleichung anwenden müsste. Ich habe bei dieser Anwendung noch meine Probleme, da ich nicht weiß, wie ich beginnen muss. Falls das so stimmt.

Answer 1

Hallo,

ich benutze mal folgende Charakterisierung von Stetigkeit: Die Funktion \(f:X \to R\) ist stetig im Punkt \(x \in X\), wenn

$$\forall \epsilon >0: \quad \exists \delta>0: \qquad f: B(x,\delta) \to B(f(x),\epsilon) \quad (1)$$

Dabei bezeichnet B jeweils eine offene Kugel - speziell im Fall der reellen Zahlen ein offenes Intervall. Die Bedingung verlangt also, dass die Kugel \(B(x,\delta)\) durch f in die Kugel \(B(f(x),\epsilon) \) abgebildet wird.

Zu a): Zu zeigen ist. \(f|_A\) ist stetig in einem Punkt \(a \in A\), d.h.

$$\forall \epsilon >0: \quad \exists \delta>0: \qquad f: B(a,\delta) \cap A \to B(f(a),\epsilon) \quad (2)$$

Wenn wir (1) und (2) vergleichen, sehen wir sofort, dass das trivial ist. Denn es ist ja \(a \in A \sub X\), also kann zu \(\epsilon>0\) ein \(\delta>0\) nach (1) wählen, dann ist (2) trivial erfüllt, weil natürlich

$$B(a,\delta) \cap A \sub B(a,\delta)$$

Zu b): Wir zeigen Stetigkeit im Punkt \(a \in A \cup B\) und nehmen o.E.d.A. an, dass \(a \in A\). Wenn wir analog zur Aufgabe a) vorgehen, taucht das Problem auf, dass wir etwas über \(B(a,\delta) \cap (A \cup B)\) wissen müssen. Deshalb 2 Fälle:

1. \(a \in A \setminus B\). Wegeb der Abgeschlossenheit von B (Hier wird das verwendet!) gibt es ein \(r>0\) mit \(B(a,r) \sub A \setminus B\). Zu \(\epsilon >0\) wählen wir \(\delta>0\) gemäß (2) und sehen, dass:

$$f: \quad B(a,\min\{\delta,r\}) \cap (A \cup B) \to B(f(a),\epsilon)$$

2. \(a \in A \cap B\). Zu \(\epsilon>0\) wählen wir \(\delta>0\) nach (2) und \(\delta'>0\) gemäß (Stetigkeit von f eingeschränkt auf B)

$$f: B(a,\delta') \cap B \to B(f(a),\epsilon) $$

Dann gilt auch

$$f: \quad B(a,\min\{\delta,\delta'\}) \cap (A \cup B) \to B(f(a),\epsilon)$$

c) Sei

$$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\quad f(x):=1 \text{ für }x \leq 1, \qquad f(x):=0 \text{ sonst}$$

Gruß Mathhilf

und \(A=[-1,0]\) und \(B:=(0,1]\)