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Aufgabe:

Seien n ∈ N und x1,...,xn ∈ R>0 . Die verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung lautet

\( \prod \limits_{k=1}^{n}\left(1+x_{k}\right)>1+\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k} \)

Zeigen oder widerlegen Sie, dass diese

für n >= 2 gilt.


Problem/Ansatz:

Es wäre sher nett, wenn Sie mir bei dieser Aufgabe helfen. Ich komme leider nicht weiter :(

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Beweise es mit vollst. Induktion über n.

\(\prod \limits_{k=1}^{n}\left(1+x_{k}\right)>1+\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k} \)

Anfang mit n=2 .

\(\prod \limits_{k=1}^{2}\left(1+x_{k}\right) = \left(1+x_{1}\right)\cdot\left(1+x_{2}\right)\)

\(   = 1+  x_{1}  +  x_{2}  +  x_{1} \cdot x_{2}  >1+x_{1}+x_{2}  = 1+\sum \limits_{k=1}^{2} x_{k} \)

weil die x'e alle positiv sind.

Ind.schritt: Es gelte für n dann hat man

 \(\prod \limits_{k=1}^{n+1}\left(1+x_{k}\right)= \left(1+x_{k+1}\right)\cdot\prod \limits_{k=1}^{n}\left(1+x_{k}\right) \)

\( = \prod \limits_{k=1}^{n}\left(1+x_{k}\right) + x_{k+1}\cdot \prod \limits_{k=1}^{n}\left(1+x_{k}\right) \)

\( > 1+\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}  + x_{k+1}\cdot ( 1+\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k} ) \)

\( = 1+\sum \limits_{k=1}^{n} x_{k} + x_{k+1} + x_{k+1}\cdot \sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}  \)

\( = 1+\sum \limits_{k=1}^{n+1} x_{k} +  x_{k+1}\cdot \sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}  \)

Und weil \(  x_{k+1}\cdot \sum \limits_{k=1}^{n} x_{k}  \) jedenfalls positiv ist, gilt auch

\( > 1+\sum \limits_{k=1}^{n+1} x_{k}  \)   q.e.d.

Avatar von 289 k 🚀

Vielen vielen Dank :)

Aber mein Problem ist eigentlich immer Induktionsschluss

Hier gibt es aber kein I.S

Nachgeliefert !

Ich bedanke mich bei dir mehrmals

Wenn man anstatt n>=2, n>=1 schreibt, dann erfüllt nicht die Aussage für n >= 1. Stimmt das?!

Für n=1 stimmt aber das "größer" nicht.

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