Aloha :)
Die Fläche \(F\) ist gekrümmt. Wir sollen diese Fläche durch eine Ebenengleichung \(z=f(x;y)\) in der Nähe des Punktes \((2;3)\) explizit darstellen.$$z=f(x;y)\approx f(2;3)+\operatorname{grad}f(2;3)\cdot\binom{x-2}{y-3}$$Den Funktionswert \(z_0=f(x_0;y_0)=f(2;3)\) Werte bestimmen wir wie folgt:$$0=F(2;3;z_0)=2+3+z_0-4-\sqrt{2^2+3^2+z_0^2}=1+z-\sqrt{13+z_0^2}\implies$$$$\sqrt{13+z_0^2}=1+z_0\implies13+z_0^2=1+2z_0+z_0^2\implies z_0=6\implies f(2;3)=6$$
Den Gradienten von \(f(x;y)\) bestimmen wir durch implizites partielles Ableiten:$$0=\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x+y+f(x;y)-4-\sqrt{x^2+y^2+f^2(x;y)}\right)$$$$\phantom{0}=1+\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}-\frac{x+f(x;y)\,\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}}{\sqrt{x^2+y^2+f^2(x;y)}}$$$$0=\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x+y+f(x;y)-4-\sqrt{x^2+y^2+f^2(x;y)}\right)$$$$\phantom{0}=1+\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}-\frac{y+f(x;y)\,\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}}{\sqrt{x^2+y^2+f^2(x;y)}}$$Wir setzen \((x_0;y_0;z_0)=(x_0;y_0;f(x_0;y_0))=(2;3;6)\) ein:$$0=1+\frac{\partial f(2;3)}{\partial x}-\frac{2+6\cdot\frac{\partial f(2;3)}{\partial x}}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}=\frac57+\frac{1}{7}\,\frac{\partial f(2;3)}{\partial x}\implies\frac{\partial f(2;3)}{\partial x}=-5$$$$0=1+\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}-\frac{3+6\,\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}=\frac47+\frac17\,\frac{\partial f(2;3)}{\partial y}\implies\frac{\partial f(2;3)}{\partial y}=-4$$
Damit haben wir die Ebenengleichung bestimmt:$$z=6+\binom{-5}{-4}\cdot\binom{x-2}{y-3}=6-5(x-2)-4(y-3)\implies$$$$z=-5x-4y+28\quad\text{oder:}\quad 5x+4y+z=28$$
