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Hellou, könnte mir jemand erklären was ich hier zu tun habe? Bzw. kann mir jemand den Lösungsweg zeigen? :) Danke schonmal!!


Aufgabe:

Gegeben ist die Fläche


\(F(x, y, z)=x+y+z-4-\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=0 .\)

und der Punkt \( \vec{x}_{0}=(2,3) \).


Problem/Ansatz:

Stellen Sie die Fläche in der expliziten Form \( z=f(x, y) \) in der Nähe des Punktes \( \vec{x}_{0} \) dar.

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Aloha :)

Die Fläche \(F\) ist gekrümmt. Wir sollen diese Fläche durch eine Ebenengleichung \(z=f(x;y)\) in der Nähe des Punktes \((2;3)\) explizit darstellen.$$z=f(x;y)\approx f(2;3)+\operatorname{grad}f(2;3)\cdot\binom{x-2}{y-3}$$Den Funktionswert \(z_0=f(x_0;y_0)=f(2;3)\) Werte bestimmen wir wie folgt:$$0=F(2;3;z_0)=2+3+z_0-4-\sqrt{2^2+3^2+z_0^2}=1+z-\sqrt{13+z_0^2}\implies$$$$\sqrt{13+z_0^2}=1+z_0\implies13+z_0^2=1+2z_0+z_0^2\implies z_0=6\implies f(2;3)=6$$

Den Gradienten von \(f(x;y)\) bestimmen wir durch implizites partielles Ableiten:$$0=\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x+y+f(x;y)-4-\sqrt{x^2+y^2+f^2(x;y)}\right)$$$$\phantom{0}=1+\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}-\frac{x+f(x;y)\,\frac{\partial f(x;y)}{\partial x}}{\sqrt{x^2+y^2+f^2(x;y)}}$$$$0=\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x+y+f(x;y)-4-\sqrt{x^2+y^2+f^2(x;y)}\right)$$$$\phantom{0}=1+\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}-\frac{y+f(x;y)\,\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}}{\sqrt{x^2+y^2+f^2(x;y)}}$$Wir setzen \((x_0;y_0;z_0)=(x_0;y_0;f(x_0;y_0))=(2;3;6)\) ein:$$0=1+\frac{\partial f(2;3)}{\partial x}-\frac{2+6\cdot\frac{\partial f(2;3)}{\partial x}}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}=\frac57+\frac{1}{7}\,\frac{\partial f(2;3)}{\partial x}\implies\frac{\partial f(2;3)}{\partial x}=-5$$$$0=1+\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}-\frac{3+6\,\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}=\frac47+\frac17\,\frac{\partial f(2;3)}{\partial y}\implies\frac{\partial f(2;3)}{\partial y}=-4$$

Damit haben wir die Ebenengleichung bestimmt:$$z=6+\binom{-5}{-4}\cdot\binom{x-2}{y-3}=6-5(x-2)-4(y-3)\implies$$$$z=-5x-4y+28\quad\text{oder:}\quad 5x+4y+z=28$$

Avatar von 152 k 🚀

Könntest du mir vielleicht erklären ,wie du implizit partiell Abgeleitet hast, um auf den Gradienten zu kommen? Ich kann deine Schritte dabei nicht ganz nachvollziehen..

Nehmen wir an, du hast die Funktion explizit gegeben:$$y(x)=x^2+3x+1$$Dann kannst du die Ableitung sofort angeben:$$y'(x)=2x+3$$

Die Funktion könnte aber auch implizit gegeben sein:$$F(x;y(x))=y-x^2-3x-1=0$$Da die Funktion \(F\) für alle Wertpaare \((x;y)\) den Wert \(0\) hat, muss auch die Ableitung \(F'(x;y(x))\) überall gleich \(0\) sein. Die Ableitung bilden wir nun mit der Kettenregel:$$F'(x;y(x))=\underbrace{\frac{\partial F}{\partial x}}_{(-2x-3)}\cdot\underbrace{\frac{dx}{dx}}_{=1}+\underbrace{\frac{\partial F}{\partial y}}_{=1}\cdot\underbrace{\frac{dy}{dx}}_{=y'(x)}=0\quad\implies$$$$-2x-3+y'(x)=0\quad\implies$$$$y'(x)=2x+3$$Ganz analog bin ich bei der Aufgabe vorgegangen.

Achsoo, vielen Dank!

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