Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Betrachte die Grenzwerte der einzelnen Komponenten.
Bei der ersten Komponente kannst du Zähler und Nenner durch \(n^5\) dividieren:$$a_1=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^7e^{-n}+n^5+n^3}{3n^5+2n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2}{e^n}+1+\frac{1}{n^2}}{3+\frac{2}{n^3}}=\frac{0+1+0}{3+0}=\frac13$$
Bei der zweiten Komponente konvergieren der Zähler und der Nenner unabhängig voneinander gegen \(\infty\), sodass die Regel von L'Hospital \((\ast)\) angewendet werden kann:$$a_2=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{\sqrt n}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt x}\stackrel{(\ast)}{=}\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac1x}{\frac{1}{2\sqrt x}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2\sqrt x}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt x}=0$$
Damit lautet der Grenzwert:\(\quad \vec a_\infty=\left(\frac13\,;\,0\;;\;7\right)\)
