Funktionsgleichung ermitteln Bogenbrücke

Question

Aufgabe:

Die Abbildung zeigt eine parabelförmige Bogenbrücke. Der höchste Punkt der Brücke liegt 40 Meter über der Straße. Die 20 Meter unterm Straßenniveau liegenden Auflagepunkte der Brücke sind die Punkte C und D. Ihr Abstand zueinander beträgt 400 Meter. Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung für die Bogenbrücke

Problem/Ansatz:

Meine Lehrerin erwähnte, dass ich dies einfach mit dem GTX Taschenrechner Befehl machen könne. Mir ist jedoch unklar, welche x und welche y Werte eingetragen werden müssen.

Quelle: Schilling, K. (2020). Beschreibende Statistik und Analysis I. Einführungsphase (2. Aufl.). Köln: Bildungsverlag EINS.

Comments

Was ist der "GTX Taschenrechner Befehl" ? Interessiert mich echt.

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Hast du schon mal etwas davon gehört, dass mehr als einen Taschenrechnerhersteller gibt und jeder von denen mehrere Modellreihen mit jeweils mehreren Modellen herstellt oder hergestellt hat?

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Falls ich gemeint sein sollte: Ja, darum frage ich was das für ein Befehl ist.

Answer 1

Die Abbildung zeigt eine parabelförmige Bogenbrücke. Der höchste Punkt der Brücke liegt 40 Meter über der Straße. Die 20 Meter unterm Straßenniveau liegenden Auflagepunkte der Brücke sind die Punkte C und D. Ihr Abstand zueinander beträgt 400 Meter.

C(0|-20)  D(400|-20)      S(200|40)

\(f(x)=a*x^2+b*x+c\)

\(f(0)=c\)    →    \(c=-20\)

\(f(400)=a*(400)^2+b*(400)-20=160000a+400b-20\)

\(160000a+400b-20=-20\) →\(160000a+400b=0\) →\(400a+b=0\)→\(b=-400a\)

\(f(200)=a*(200)^2-400a*200-20\)→\(40000a-80000a-20\)  →

→\(40000a-80000a-20=40\)→\(-40000a=60\)→\(-4000a=6\)→\(a=-\frac{3}{2000}\)

\(b=-400*(-\frac{3}{2000})\)→\(b=\frac{3}{5}\)

\(f(x)=-\frac{3}{2000}*x^2+\frac{3}{5}*x-20\)

Answer 2

Eine Parabel ist definiert, wenn drei Punkte definiert sind. Auf der Zeichnung gibt es drei Punkte mit definierten Abständen in horizontaler und vertikaler Richtung zueinander.

Wo Du den Ursprung des Koordinatensystems hin legst, ist Dir überlassen. Ich würde ihn auf der Straße unter dem Punkt S haben wollen. Kollege Molliets andernorts auf dieser Seite hat ihn auf die Straße über dem Punkt C gelegt. Die Funktionsgleichung lautet dann etwas anders, der Graph hat aber die identische Form.

Comments

Variante Döschwo:

C(-200 | -20), D(200 | -20), S(0 | 40)

Gleichungssystem:

\( -20 = a \cdot (-200)^{2} + b\cdot(-200) + c \)

\( -20 = a \cdot 200^{2} + b \cdot 200 + c \)

\( 40 = a \cdot 0^{2} + b \cdot 0 + c \)

Lösung:

a = -3/2000, b = 0, c = 40

Funktion:

y = \(-\large\frac{3}{2000}\normalsize\) x² + 40

Variante Moliets:

C(0 | -20), D(400 | -20), S(200 | 40)

Gleichungssystem:

\( -20 = a \cdot 0^{2} + b\cdot 0 + c \)

\( -20 = a \cdot 400^{2} + b \cdot 400 + c \)

\( 40 = a \cdot 200^{2} + b \cdot 200 + c \)

Lösung:

a = -3/2000, b = 3/5, c = -20

Funktion:

y = \(-\large\frac{3}{2000}\normalsize\) x² + \(\large\frac{3}{5}\normalsize\) x - 20

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Wo Du den Ursprung des Koordinatensystems hin legst, ist Dir überlassen.

Kollege döschwo, der Aufgabensteller war schon so nett, die Achsen vorzugeben...

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Echt! Der ist ja supernett. Habe ich übersehen. Danke für den Hinweis.

Man soll nie an völlig unnötigen Vorgaben des Aufgabenstellers herumdoktern.

Der rote Bogen auf meiner Zeichnung ist aufgabenstellerkonform. Der blaue Bogen ist aber schöner.

Man ersetze mein "ist Dir überlassen" durch "wäre ja grundsätzlich egal."