Question

Eine Funktionsgleichung durch 2 gegebene Punkte ermitteln:

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung f einer quadratischen Funktion, die durch die Punkte (−1|−1) und (2|−1) führt und an der Stelle x=−3 die Steigung 14 besitzt.

Normalerweise habe ich bei dieser Aufgabe kein Problem, denn hier würde ich einfach y2-y1/x2-x1 berechnen aber mich verwirrt hier dass an einer bestimmten Stelle die Steigung bereits angegeben ist.

Answer 1

Hallo Melanie,

die beiden gegebenen Punkte haben den gleichen Funktionswert \(f(-1)=f(2)=-1\). Da jede Parabel achsensymmetrisch ist, muss sich die X-Koordinate \(x_s\) des Scheitelpunkts genau in der Mitte dazwischen befinden. Also kann man gleich die Scheitelpunktform der Parabel nutzen:$$x_s = \frac12(-1 + 2) = 0,5 \\ \begin{aligned}\implies f(x)&=a(x-0,5)^2+y_s \\ f'(x)&=2a(x-0,5) \\\end{aligned}$$Da die Steigung an einer Stelle gegeben ist, folgt daraus direkt der Parameter \(a\)$$f'(-3)= 2a(-3-0,5)=14 \implies a = -2$$Dies setzt man nun noch zusammen mit einen der Punkte in die Scheitelpunktform ein und erhält$$f(2)=-1 \\ f(2) = -2(2-0,5)^2 + y_s = -1 \implies y_s=3,5$$Die gesuchte Funktion ist also$$f(x)=-2(x-0,5)^2 + 3,5 \\\phantom{f(x)}= -2x^2+2x+3$$

~plot~ -2x^2+2x+3;{-1|-1};{2|-1};-21+14(x+3);[[-5|4|-30|10]];{-3|-21} ~plot~

Gruß Werner

Answer 2

Hallo,

denn hier würde ich einfach y2-y1/x2-x1 berechnen

Damit berechnest du die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte.

Hier ist eine Funktionsgleichung der Form \(f(x)=ax^2+bx+c\) zu bestimmen.

\(f'(x)=2ax+b\Rightarrow f'(-3)=14\)

Wenn du jetzt noch die Koordinaten der Punkte in f(x) einsetzt, hast du drei Gleichungen für die drei Variablen. Dann musst du nur noch dieses System lösen, um die Werte für a, b und c zu berechnen.

Gruß, Silvia

Answer 3

"Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung f einer quadratischen Funktion, die durch die Punkte P(−1|−1) und Q (2|−1) führt und an der Stelle x=−3 die Steigung 14 besitzt."

p(x)=a*x^2+b*x+c

P(−1|−1)

p(-1)=a*(-1)^2+b*(-1)+c

1.)a*(-1)^2+b*(-1)+c=-1

Q (2|−1)

p(2)=a*2^2+b*2+c

2.)a*2^2+b*2+c=-1

p´(x)=2a*x+b

p´(-3)=2a*(-3)+b

3.)2a*(-3)+b=14

Nun hast du drei Gleichungen und kannst nun a, b und c bestimmen.