Exponentialgleichung: Umstellung der Gleichung nach Exponent

Question

Aufgabe

Es geht um eine Aufgabe aus der Finanzmathematik. Ein Kapital von 1.000.000€ soll für x Jahre mit 120.000€ entnommen werden. Die 1.000.000€ werden mit 10% / Jahr verzinst.

Wie lange kann man das angelegte Kaptial entnehmen?

Die Ausgangsgleichung nach Kapitalwiedergewinnungsfaktor lautet:

120.000€ = 1.000.000€ * ( 1.10^x * ( 1.10-1 ) / ( 1.10^x-1) )

=> Es soll also der Exponent x ermittelt werden und das Ergebnis liegt bei ca. 18,1.

Könnte mir ggf. jemand den Rechenweg / die Umstellung der Gleichung genauer Erläutern?

LG

Jamie :)

Answer 1

Tipp:

Substituiere: 10^x = z

Comments

Danke für den Hinweis, ich schaue auch im Wiki nochmal. Mal schauen :)

Answer 2

120.000 = 1.000.000 * ( 1.10^x * ( 1.10-1 ) / ( 1.10^x-1) )   |:1000000

3/250=1.1^x * ( 0.10 ) / ( 1.1^x-1)

Setze 1.1^x=u

3/250=u * ( 0.1 ) / ( u-1)

Löse nach u auf und resubstituiere.

Comments

Danke für die Antwort!:)

Answer 3

\(\frac{120.000}{1.000.000} =1,10^x *\frac{1,10-1}{1,10^x-1} \)

\(\frac{3}{25} =1,10^x *\frac{0,1}{1,10^x-1} \)

\(\frac{3}{25}*(1,10^x-1) =1,10^x *0,1\)

\(\frac{6}{5}*(1,10^x-1) =1,10^x \)

\(1,2*1,10^x-1,10^x  =1,2\)

\(0,2*1,10^x =1,2\)

\(1,10^x =6\)

\(x*ln1,10=ln6\)

\(x=\frac{ln6}{ln1,1} ≈18,8\)

Comments

Danke für deine Antwort! :)