Prozessverbesserung mit der Formel: notwendige Stichproben Größe. Mathematisch korrekt?

Question

Hallo zusammen,

ich benötige mal Ihre Expertise in der Mathematik. Da mein Mathekurs in der Uni schon ein paar Jahre zurück liegt und ich mich etwas unsicher fühle in meinem Gedankengang.

Kurz zum Hintergrund:

Ich arbeite für ein kleines typisches mittelständiges Unternehmen im Agrarhandel. Wir haben unzählige Lieferanten in unserer Datenbank ca. 4000. Wir leben vom Handel und haben dementsprechend viele Rechnungen bzw. Forderungen zu begleichen. Diese müssen aber wie üblich auch kontrolliert werden. Gerade diese Kontrolle ist sehr zeitaufwändig und könnte m. E deutlich effektiver gestaltet werden.

Die Idee ist es eine Art Prozess bzw. Funktion zu etablieren, die unsere Lieferanten filtert.Also basierend auf unsere Erfahrungswerte, ob dessen Rechnung geprüft werden soll oder nicht.

Simples Beispiel der Idee:

Lieferant A: Hat 100 Rechnungen geschrieben alle waren OK. Dann ist die Wahrscheinlichkeit hoch das die 101 ebenso ok ist und kann direkt freigegeben werden. Keine Prüfung notwendig also.

Lieferant B: Hat 30 Rechnungen geschrieben nur 15 waren Ok. Dann ist die Wahrscheinlichkeit hoch das die 31ste evtl. falsch ist und muss vor Freigabe geprüft werden.

Problem:
Mein Problem ist jetzt aber Lieferant C beziehungsweise, wann ich die Grenze setzen soll wann eine Prüfung notwendig ist oder nicht.

Lieferant C: Hat 100 Rechnungen geschrieben 94 waren Ok. Soll die nächste Rechnung jetzt geprüft werden oder nicht?

Um hier eine Entscheidung zu treffen habe ich mich etwas in die Statistik eingelesen und mich an die notwendige Stichprobengröße orientiert.

Text erkannt:

\( \frac{\left[z^{2} * p(1-p)\right] / e^{2}}{1+\left[z^{2 *} p(1-p)\right] / e^{2 * N}} \)
= notwendige Stichprobengröße

Mein Ansatz ist es also anhand der Grundgesamtheit (die Anzahl der jeweiligen Rechnungen beim jeweiligen Lieferanten) und der notwendigen Stichprobengröße (Anzahl der richtigen Rechnungen) eine aussage über die Grundgesamtheit zutreffen. Also ob dieser Lieferant die Rechnungen ordentlich und Vertragstreu stellt.

Entscheidungshilfe bei Lieferant C Beispiel:

Annahme der notwendigen Parameter:

Konfidenzniveau = 99%
Von mir ausgewählt, denn ich will ja die Grundgesamtheit möglichst genau darstellen.

Grundgesamtheit = Anzahl der eingereichten Rechnungen des Lieferanten. Bei Lieferant C = 100

Fehlermarge oder Konfidenzintervall= 3%

Das sind die Fehler, die ich zulassen möchte.

Standardabweichung = 0,5

Ergebnis für Lieferant C:

Notwendige Stichprobengröße: 95

Mein Ansatz wäre jetzt zu sagen die 101 Rechnung des Lieferanten C muss geprüft werden. Da dieser 94 Rechnungen eingereicht hatte die Ok waren. Und die Richtigkeit der Rechnungen in der Grundgesamtheit nicht ausgereicht hat, um eine direkte Freigabe zu erteilen.

Jetzt zu meiner Frage:

Ist mein Ansatz über die notwendige Stichprobengröße nachvollziehbar. Ist dieser Ansatz mathematisch korrekt und sinnvoll?

Vielen lieben Dank im Voraus.

Ich bin gespannt auf die Rückmeldung.

PS: Um die ökonomischen Sorgen klein zu halten dieses Verfahren soll nur für kleine Forderungen gelten.

Comments

Hi, interessantes Problem. Aber wie bist Du auf die Formel gekommen und was bedeuten die einzelnen Größen.

Ich vermute

\( e = \) Länge des Konfidenzintervalls?

\( z = 1 - \frac{\alpha}{2} \) Quantil der welcher Verteilung?

\( p = \) Anteilswert der Stichprobe an richtigen Rechnungen?

Den Nenner Deiner Formel kann ich fast, bis auf einen Faktor 4 mit der Konfidenzintervall Länge für den Anteilswert \( p \) in Verbindung bringen. Beim Nenner weiß ich nicht, wo der herkommt.

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Hallo ich habe mittlerweile genügend Feedback erhalten um mein Brainstroming zu ende zu bringen und eine entsprechende Entscheidung zu treffen. Von daher nochmal vielen Dank für Ihre mühen.

Hier nochmal die Infos zu Ihren fragen:

In meinen alten Unterlagen stehen die Parameter für folgendes:

e=Fehlermarge

Die Fehlermarge oder das Konfidenzintervall wird als Prozentsatz angegeben und zeigt, wie nah die Antworten aus der gewählten Stichprobe an den echten Wert der Gesamtpopulation heranreichen werden.

Z = Kommt immer aus einer Tabelle und ist abhänig von dem Konfidenzniveau

Der auf dem Konfidenzniveau basierende Z-Wert ist konstant und stellt den üblichen Mittelwert dar oder bezeichnet die Nummer an Standardabweichungen, die zwischen dem gewählten Wert und dem Populationsdurchschnitt liegen.

p = Standardabweichung

Die Standardabweichung gibt an, wie viel Varianz bei den Antworten erwartet wird. Je höher die Varianz ist, desto größer ist auch die Standardabweichung. Sie zeigt an, wie dicht die Daten sich um den Mittelwert häufen und wie weit sie sich zwischen Maximum und Minimum verteilen. Da dies vor der Durchführung der Studie nicht wirklich feststellbar ist, wird dieser Wert meist auf 0,5 (50 %) gesetzt.

Answer 1

Ich sehe hier eher ein betriebswirtschaftliches Problem. Da Ökonomie mein Hauptgebiet ist, schreibe ich etwas dazu. Rechnungen zahlen ohne sie kontrolliert zu haben bzw. sie automatisch freigeben weil man bei einem Lieferanten in der Vergangenheit kaum Fehler gefunden hat und annimmt, das sei jetzt immer so, macht wenig Sinn. Wenn der Wirtschaftsprüfer dazu keine Bemerkung machen würde, kriegt er eins auf den Deckel von seinem Chef. Jemand muss entscheiden, wenn das Unternehmen Geld ausgibt.

Zur Statistik: Wenn Du annimmst, die Fehlerquote bei Rechnungen eines Lieferanten sei eine stationäre Zeitreihe, dann kannst Du die Verteilung schätzen und entscheiden, wieviel falsche Rechnungen Du bei Lieferanten mangels Kontrolle durchgehen lassen möchtest. Es gibt dazu auch adaptive Filter, die sich Veränderungen der Zeitreihe anpassen. Aber diese Veränderungen kriegt man nicht mit, wenn man nicht prüft.

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Hallo erstmal vielen Dank für Ihr Feedback.

Ich konnte mich in der Zwischenzeit mit meinem alten Professor austauschen. Sodass ich bezüglich des Ansatzes keine Zweifel mehr haben.  Ich werde aber Ihre Ökonomischen Aspekte auch nochmal berücksichtigen und intern besprechen.

Die Information hatten Sie nicht aber es geht hier auch nur um Rechnungen mit einer geringen Forderungshöhe (max. 350 €).

Wie gesagt trotzdem nochmal vielen Dank das Sie sich am "brainstroming" beteiligt haben.