Aufgabe:
Ich soll untersuchen, ob die Punktfolge konvergent ist und den Grenzwert berechnen. Falls die Folge nicht konvergent ist, soll ich konvergente Teilfolgen bestimmen.
(iii) \( \vec{c}_{n}:=\left(\left(2+a(-1)^{n}\right) e^{n}, \frac{1}{n^{2}}\right) \)
mit einer Zahl \( a \in \mathbb{R}^{+} \).
Problem/Ansatz:
ich weiß bei der obigen Aufgabe leider nicht weiter. Ich versuche mal meinen Ansatz zu schildern.
Es geht um den ersten Teil des Tupels.
Wir haben (2+a(-1)^n)*e^n
Diese Folge habe ich in die beiden Teilfolgen
2+a(-1)^n und
e^n
unterteilt.
(-1)^n ist bei lim n->unendlich alternierend, es wird also eine Fallunterscheidung zwischen n gerade & n ungerade nötig. Für a darf ich eine beliebige Zahl >0 wählen und nehme a=2.
Ich mache also eine Fallunterscheidung für
lim n->unendlich (2+2(-1)^n) = 0 ,für n ungerade
= 4 ,für n gerade
Die Folge 2+2(-1)^n ist folglich divergent, besitzt aber konvergente Teilfolgen, und zwar für n ungerade = 0 & n gerade = 4.
Nun kommen wir zu meinem eigentlichen Problem, der zweiten Teilfolge e^n.
lim n-> unendlich (e^n) = unendlich
Diese Teilfolge geht gegen unendlich. Sprich:
a) Bei a=2 & n gerade ergibt sich ein Grenzwert von 4*unendlich.
b) Bei a=2 & n ungerade ergibt sich ein Grenzwert von 0*unendlich.
Um das ganze nun weiterzuführen habe ich realisiert, dass ich die Folge umstellen könnte um dann die Regel von L'Hospital anzuwenden.
Statt (2+2(-1)^n) * e^n
rechnen wir (2+2(-1)^n)/e^-n
und würden somit bei
lim n->unendlich (2+2(-^)^n)/e^-n = 0/0 für n ungerade
erhalten. Ich wende also L'Hospital an und berechne die beiden ersten Ableitungen, die ergeben:
lim n-> unendlich (2n(-1)^n-1) / (-e^-n)
Und hier hänge ich fest. Hier geht es, wenn ich es richtig verstehe, in den imaginären Teil über. Bedeutet das, dass es hier nicht weitergeht? Sprich ich nur die beiden Teilfolgen mit n gerade & n ungerade bestimmen konnte?
Besten Dank und liebe Grüße!
